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3
Divisibilidad
Presentación de la unidad
•La unidad retoma el estudio de la divisibilidad en el campo de
los números naturales, consolidando conceptos y procedimientos ya iniciados en Primaria.
•Comenzamos recordando, como base previa, la reciprocidad entre multiplicación y división. Esa base servirá de punto de partida
para asentar y manejar con soltura las expresiones “es múltiplo
de” (es divisible por), “es divisor de”, y entender que son igualmente recíprocas.
•A continuación, se introduce una serie de contenidos básicos imprescindibles para seguir avanzando: diferenciación entre primos
y compuestos, identificación de los primeros primos, criterios de
divisibilidad, descomposición en factores, identificación de múltiplos y divisores de números descompuestos en factores primos.
•En el siguiente paso se aborda la construcción de los conceptos
de máximo común divisor y de mínimo común múltiplo. Y, conseguido eso, se estudian métodos para optimizar el cálculo.
Resaltamos las dos fases de este último paso: construcción de
ideas-optimización del cálculo, como partes bien diferenciadas
del proceso.
•La experiencia nos muestra la dificultad que ofrecen estos contenidos para una buena parte de los alumnos y alumnas. Por eso se
propone su introducción intuitiva y experimental, con ejemplos
muy sencillos, partiendo de los conjuntos de múltiplos (o divisores), realizando su intersección, y seleccionando el menor múltiplo (o el mayor divisor).
•Conseguido ese objetivo, pasamos a la obtención mediante los
factores primos. En esta fase, llamamos la atención sobre la importancia de identificar, previamente, múltiplos y divisores de un
número factorizado.
•Paralelamente a la secuencia presentada, se proponen problemas de aplicación que, aportando contexto a los conceptos,
complementan su comprensión.
Conocimientos mínimos
•Significado de los conceptos de múltiplo y divisor. Identificación
de la relación de divisibilidad, cuando exista.
•Cálculo de los múltiplos y divisores de un número.
•Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10 y 11.
•Identificar los números primos menores que 30.
•Descomponer un número en factores primos.
•Calcular el mínimo común múltiplo de dos números sencillos,
mediante la intersección de los divisores comunes.
Esquema de la unidad
DIVISIBILIDAD
Entre dos números naturales puede existir relación de divisibilidad.
cuando
la división
es exacta
que genera
MÚLTIPLOS
que clasifican
a los números en
que pueden ser
que pueden ser
comunes a distintos
números
comunes a distintos
números
NÚMEROS
PRIMOS
NÚMEROS
COMPUESTOS
y al menor de los
comunes se le denomina
y al mayor de los
comunes se le denomina
cuando
cuando
sus únicos divisores
son él mismo
y la unidad
tiene más
de dos
divisores
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
50
DIVISORES
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Anticipación de tareas
•Revisar las propiedades y las relaciones entre la multiplicación y
la división.
•Practicar y asegurar el cálculo mental y el cálculo escrito con la
multiplicación y, especialmente, con la división.
•Recordar algunas estrategias y procedimientos generales para
resolver problemas y describir los procesos de resolución.
La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para
mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáticas: el práctico y el intelectual.
Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no
han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente
para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va
dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se
proponen.
Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha suprimido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos.
Adaptación curricular
En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación
curricular de esta unidad 3 del libro del alumnado, para cuya elaboración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que
aquí se proponen.
Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la unidad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de
nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la
autoevaluación.
En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensamiento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, las TIC, el emprendimiento y la resolución de problemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la
actividad y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).
Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*).
APRENDIZAJE COOPERATIVO
PENSAMIENTO COMPRENSIVO
Pág. 45. Todas las propuestas
PENSAMIENTO CRÍTICO
Pág. 47. Actividad 5
Pág. 47. Actividad 13
Pág. 55. Actividad sugerida en esta
P.D.(*)
Pág. 49. Actividades 5 y 9
Pág. 49. Actividad 11
Pág. 58. Actividad sugerida en esta
P.D.(*)
Pág. 51. Actividad 4
Pág. 50. Actividad 15
Pág. 58. Actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 53. Actividad
TIC
Pág. 56. Actividad 8
Pág. 56. Actividad 9(*)
Pág. 59. Actividad 8(*)
Pág. 60. Actividad 14
Pág. 62. Actividad “El 101 es el protagonista”
Pág. 60. Actividad
INTERDISCIPLINARIEDAD
11(*)
16(*)
EMPRENDIMIENTO
6(*)
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Pág. 44. Historia
Pág. 50. Actividad suge- Pág. 49. Actividad
y actividad
rida en esta P.D.
sugerida en esta P.D.
Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en este apartado. Aquí se señalan algunos que tienen especial interés.
Pág. 49. Actividad 10
Página 52. Ladillo
Pág. 49. Actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 47. Actividad 15
Pág. 50 Actividad sugerida en esta P.D. (*)
Pág. 56. Actividad 10
Pág. 51. Actividad sugerida en esta P.D.
Pág. 59. Actividad 10
Pág. 60. Actividad 10
Pág. 61. Actividad “Aprende a resolver problemas”
Pág. 62. Actividad “Divisibilidad y
geometría” (*)
Pág. 61 . Actividades “Problemas +”(*)
Pág. 62. Actividad “Los primos valen dinero”
Pág. 63. Actividad “Entrénate resolviendo problemas”
Pág. 60. Actividad 11 (*)
51
3
Divisibilidad
Alejandría, fundada por Alejandro Magno en el siglo IV a.C., pasó a ser el
centro cultural (científico, artístico) de la civilización griega.
Divisiones al estilo egipcio
Antes de la llegada del sistema de numeración decimal, la operación de dividir no era tan
sencilla como ahora. Observa, por ejemplo, cómo dividían los antiguos egipcios 380 : 20.
Empezaban escribiendo dos columnas:
— La primera, con sucesivas duplicaciones del divisor, 20, sin pasar de 380.
←• 20 ⎯→ 1 →
←• 40 ⎯→ 2 →
80
4
160
8
←• 320 ⎯→ 16 →
19 ←
→ 380
1
— La segunda, con sucesivas duplicaciones de la unidad.
— Tomaban, en la columna de la izquierda, las sumas necesarias para obtener 380 → 20 + 40 + 320 = 380.
— Después, tomaban los sumandos correspondientes en la columna de la derecha → 1 + 2 + 16 = 19.
— El resultado obtenido en la segunda columna es el cociente:
380 : 20 = 19
Divide, por el mismo procedimiento, 414 : 18.
Rectángulos
Sobre una cuadrícula, se pueden construir cuatro rectángulos diferentes que ocupen
una superficie de 30 cuadraditos:
1 × 30
2 × 15
5×6
3 × 10
Los pares de números que coinciden con las dimensiones de los lados, 1-30, 2-15, 3-10
y 5-6, guardan con 30 relaciones que serán objeto de estudio en esta unidad.
E
l sabio griego Euclides vivió en Alejandría en el siglo III a.C., donde fundó una gran escuela de matemáticas. Recopiló y sistematizó todo el conocimiento matemático de su época y plasmó su obra en una colección de trece
libros que se denominaron Elementos. La mayor parte de
estos libros estaban dedicados a la geometría, y solo cuatro
de ellos, a la aritmética. En estos últimos desarrolló, entre
otras cosas, la teoría de la divisibilidad: números primos y
compuestos, divisores, múltiplos, etc.
Los Elementos de Euclides han sido estudiados y admirados en todas las épocas.
Al iniciar la unidad
• La lectura sirve de introducción a la unidad, informando de que sus contenidos, los conceptos relativos a la divisibilidad, ya preocupaban a los
matemáticos de la Antigüedad, en Grecia y Egipto, trescientos años antes de Cristo. Los estudiantes constatarán así que el interés por la estructura y las propiedades de los números van unidos a su aparición y
desarrollo, siendo consecuencia de la curiosidad humana y del afán de
saber, cosas estas no exclusivas de la sociedad moderna. Es decir, somos consecuencia, beneficiarios y herederos de los que vivieron antes
que nosotros.
• También puede servir como punto de partida para ampliar información
en distintas direcciones: (TIC, emprendimiento, interdisciplinariedad…).
– Matemáticos de la Antigüedad.
– Vida y obra de Euclides.
– El papel de Alejandría y sus escuelas en la conservación y el impulso
del saber en la historia antigua.
– El sistema de numeración griego.
Cuestiones para detectar ideas previas
•Al hilo de la lectura de la página anterior, se puede hacer notar al alumnado la dificultad añadida que suponía para aquellos matemáticos, al
carecer del sistema de numeración decimal, investigar sobre los números; es decir, con sistemas mucho más rudimentarios y menos potentes.
Como prueba, pueden reflexionar sobre el hecho de que el algoritmo
que usamos para dividir es imposible fuera del sistema decimal, y que
los antiguos utilizaban otros métodos como el que se muestra en las
actividades de esta página. Y conste que nosotros, para explicarlo, recurrimos a los números en forma decimal. Pueden imaginar la dificultad y
el engorro que supondría hacerlo en el sistema de numeración egipcio
o en el griego; este último utilizaba letras, de forma similar al romano
que conocemos.
52
2
Dibuja sobre una cuadrícula todos los rectángulos que ocupen 36 cuadraditos.
3
¿Cuántos rectángulos de 100 cuadraditos podrías construir? ¿Y de 101?
Series en la calculadora
En una calculadora sencilla, de las de 4 operaciones, pulsa esta secuencia de teclas:
7++====…
Irás obteniendo la serie → 7; 14; 21; 28; 35; …
O lo que es igual → 7 × 1; 7 × 2; 7 × 3; 7 × 4; 7 × 5; …
Estas series están relacionadas con lo que vas a estudiar en la unidad.
4
Experimenta, partiendo de otros números, la formación de nuevas series obtenidas de la misma manera.
•En el segundo apartado, “Rectángulos”, en un contexto geométrico, los
estudiantes resolverán cuestiones (búsqueda intuitiva de los divisores
de un número), que después relacionarán con los contenidos de la
unidad.
•En el último apartado, “Series en la calculadora”, se anticipa, también
informalmente, la obtención de los múltiplos de un número.
Aprendizaje cooperativo
Si el profesor o la profesora lo considera oportuno, las actividades de este
apartado pueden realizarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre
iguales. En un primer tiempo, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en una posterior puesta en común, justificando los logros conseguidos, rebatiendo en los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comunes.
Soluciones de las actividades
1
18
1
36
2
72
4
144
8
414 : 18 = 23
16
288
414
23
2 Dibujarán rectángulos de 1 × 36 cuadraditos, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 y
6 × 6 cuadraditos.
3 Podría ser de 1 × 100, de 2 × 50, de 4 × 25, de 5 × 20 y de 10 × 10.
De 101 cuadrados solo podría ser un rectángulo de 1 × 101.
4 Solución abierta.
1 La relación de divisibilidad
Piensa y practica
1. Piensa y contesta, justificando tus respuestas.
Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando
uno contiene al otro una cantidad exacta de veces; es decir, cuando su cociente
es exacto.
Ejemplos
• Un listón de 60 cm se puede partir, exactamente, en trozos de 15 cm.
60
15
60
00
15
4
15
15
15
b) Marta da pasos de 60 cm. ¿Puede recorrer 100 metros en un número exacto de pasos?
d) ¿Tiene algún mes un número exacto de semanas?
c) Tres números que sean divisores de 770.
2. Observa estas divisiones y completa en tu cuaderno:
36
0
10
b) ¿Es 1 800 múltiplo de 90?
9. Busca:
a) Tres números que sean divisores de 40.
9
4
55
05
0
575
115
00
6
2
15
3
225 15
75 15
0
126 12
006 10
60
25
a) ¿Es 35 divisor de 728?
c) ¿Puede vaciarse una tina de aceite, de 1 500 litros,
en un número exacto de garrafas de 5 litros?
→ La división es exacta. → 60 es divisible entre 15.
25
8. Calcula y responde, justificando tu respuesta.
a) ¿Se puede dividir una clase de 30 alumnos en equipos de 7, sin que sobre ninguno?
• Sin embargo, un liston de 60 cm no se puede partir, exactamente, en trozos de
25 cm.
b) Tres números que sean múltiplos de 7.
d) Tres números que sean múltiplos de 50.
10. Busca entre estos números:
5
11
23
25
60
10
Practica la relación de divisibilidad.
25
2
→ La división no es exacta. → 60 no es divisible entre 25.
a
0
• El mayor es múltiplo del menor.
b
— 36 es divisible por …
c
Ejemplo
40 8
→ 40 = 8 · 5 →
0 5
división exacta
↓
división exacta
a es divisible entre b.
a es múltiplo
de b.
8
8
8 es divisor de 40.
8
8
si la división a : b es exacta.
• b es divisor de a
c) 613 y 13
d) 513 y 19
e) 688 y 44
f ) 2 070 y 46
4. Copia estos números y une con flechas los que están
12
108
75
20
13
57
3
100
99
260
8
5
↔
8 es divisor de 40.
5
8
5 es divisor de 40.
5. ¿Verdadero o falso?
c) 42 es divisible entre 7.
↔
Existe relación
de divisibilidad
La relación fundamental D = d · c debe ser manejada mentalmente por
los alumnos y las alumnas para reconocer relaciones de divisibilidad.
• Una vez construida la idea de divisibilidad, es necesario dotar a sus elementos de una nomenclatura que facilite su incorporación al lenguaje.
Con este fin se introducen los términos múltiplo y divisor. Los estudiantes han de integrar ambos conceptos como inseparables:
D : d = c
(exacta)
↔
D es múltiplo
de c y de d
↔
c y d son
divisores de D
• Se sugiere practicar la implantación de dichos conceptos tomando conciencia de que todos los mensajes siguientes son equivalentes y se utilizan de forma indistinta:
12 es divisible entre 4, 4 divide a 12, 12 es múltiplo de 4, 4 es divisor de 12
Refuerzo y Ampliación
Como ejercicios de refuerzo y ampliación se recomiendan los siguientes,
todos ellos del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 22.
Ampliación: Ejercicio 4 de la pág. 22.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a)No. 30 : 7 no es exacta.
b)No. 100 m = 10 000 cm : 60 no da exacto.
c) Sí. La división 1 500 : 5 es exacta.
d)Solo febrero en años no bisiestos.
20
24
30
75
95
120
a) ¿Cuáles son múltiplos de 4?
b) ¿Cuáles son múltiplos de 10?
c) ¿Cuáles son múltiplos de 15?
12. Observa el ejemplo, copia en tu cuaderno y completa.
• 20 : 5 = 4
20 : 4 = 5
30 : 6 = 5
c) 56 : 7 = 8
56 : 8 = 7
→
→
→
→
20 es múltiplo de 4 y de 5.
4 y 5 son divisores de 20.
12 es … de 3 y de 4.
3 y 4 son … de 12.
…
…
…
…
b) Si a es distinto de b y divisible entre b, a es
mayor que b.
c) Si u es múltiplo de v, v es divisor de u.
a) ¿Por qué 522 es múltiplo de 29?
d) Si b cabe una cantidad exacta de veces en a, b
es múltiplo de a.
b) ¿Por qué 17 es divisor de 544?
e) Si m ∙ n = k, m y n son divisores de k.
• Encuentra múltiplos de un número.
• Encuentra divisores de un número.
2 • 36 es divisible por 9.
Cabe una cantidad
La división
↔
exacta de veces
es exacta
10
60
a) Si m es divisible entre n, n es divisible entre m.
7. Explica con claridad.
46
• Comenzamos con un planteamiento gráfico muy sencillo del concepto
de divisibilidad asociado a la división:
8
45
13. ¿Verdadero o falso?
d) 54 es divisible entre 8.
En la web
Sugerencias
90
b) 30 : 5 = 6
una cantidad exacta de veces.
40
0
30
75
12 : 3 = 4
e) 65 contiene a 13 un número exacto de veces.
40
0
20
60
a) 12 : 4 = 3
6. Busca todos los números que están contenidos en 24
Cada divisor de un número lleva otro divisor emparejado.
5 5 5 5 5 5 5 5
8·5
b) 420 y 35
b) 75 está contenido exactamente 3 veces en 225.
o lo que es igual
5·8
a) 224 y 16
a) 15 está contenido exactamente 4 veces en 60.
Los divisores van por parejas
40
8
40 es múltiplo de 8.
• a es múltiplo de b
b es divisor
de a.
— …
emparentados por la relación de divisibilidad:
• El menor es divisor del mayor.
15
45
b) Todos los que sean múltiplos de 3.
por la relación de divisibilidad:
Cuando dos números están emparejados por la relación de divisibilidad, decimos
que:
Relación de divisibilidad
10
11. Considera estos números:
3. Di si los números de cada pareja están emparentados
Ser múltiplo de…, ser divisor de…
5
35
a) Todos los que sean divisores de 90.
— 15 no es divisible por …
En la web
3
UNIDAD
47
• 15 no es divisible por 6.
• 55 es divisible por 5.
• 126 no es divisible por 12.
• 255 es divisible por 15.
• 575 es divisible por 23.
3 a)
Síb)
Síc)
No
d)
Síe)
No
f )
Sí
4 12
57
108
75
20
13
3
100
99
260
5 a) Verdadero b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Verdadero
6 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
7 a)Porque 522 : 29 = 18 y, por tanto, 522 = 29 · 18.
b)Porque la división de 544 entre 17 es exacta, 544 : 17 = 32.
8 a)35 no es divisor de 728 porque 728 : 35 no es exacta.
b)Sí, pues 1 800 : 90 = 20 de manera exacta.
9 a)1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
b)7, 14, 21, 28, …
c) 1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, …
10 a)5, 10, 15, 30, 45, 90
11 a)8, 20, 24, 60, 120
d)50, 100, 150, 200, …
b)15, 30, 45, 60, 75, 90
b)10, 20, 30, 60, 120
c) 30, 45, 60, 75, 120
12 a)12 es múltiplo de 3 y de 4. 3 y 4 son divisores de 12.
b)30 es múltiplo de 5 y de 6. 5 y 6 son divisores de 30.
c) 56 es múltiplo de 7 y de 8. 7 y 8 son divisores de 56.
13 a) Falso
b) Verdadero
c) Verdadero
d) Falso
e) Verdadero
53
2 Los múltiplos y los divisores de un número
Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas prácticas que sirven para descubrir si un
número es divisible por 2, 3, 5 u otros números sencillos.
Cálculo de los múltiplos de un número
■ DIVISIBILIDAD POR
Observa los primeros múltiplos de 20:
Notación
Cuando nos referimos a un múltiplo
de un número, podemos escribirlo
con un punto encima, así:
•
7 → múltiplo de 7
a• → múltiplo de a
Los múltiplos de 2 son los números pares: 2 - 4 - 6 - 8 ‐ 10 - … - 68 - 70 - …
• 516 → cifra par
516 es múltiplo de 2.
• 371 → cifra impar
371 no es múltiplo de 2.
Y para que un número sea par, basta con que lo sea su última cifra.
Un número es divisible por 2 (es múltiplo de 2) si termina en cifra par:
0-2-4-6-8
■ DIVISIBILIDAD POR
Los números 20, 40, 60, 80, … son divisibles por 20; es decir, son múltiplos de
20.
20 · 2
↓
40
20 · 3
↓
60
…
…
20 · 6
↓
120
…
…
20 · 10
↓
200
•
5 → 10 - 15 - 20 - 25 - … - 125 - 130 - … - 200 - 205 - …
Ejemplos
•
• 325 → es múltiplo de 5.
• 560 → es múltiplo de 5 y de 10.
• 703 → no es múltiplo ni de 5
ni de 10.
…
…
• Los múltiplos de un número natural, a, se obtienen al multiplicar a por
Ejemplos
cualquier otro número natural k. a · k → múltiplo de a
•
3
•
9
411 es múltiplo de 3 pero no de 9.
• Todo número natural, a, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. → a · 1 = a
• 411 → 4 + 1 + 1 = 6
• Un número distinto de cero tiene infinitos múltiplos.
•
3
• 432 → 4 + 3 + 2 = 9
•
9
432 es múltiplo de 3 y de 9.
Cálculo de los divisores de un número
Observa, ahora, cómo calculamos los divisores de 20:
20
00
Divisores de 18
Búsqueda de los divisores de 18:
: 1 = 18 → SÍ
: 2 = 9 → SÍ
: 3 = 6 → SÍ
18
:4
→ NO
:5
→ NO
: 6 = 3 → SÍ
Los divisores de 18 son:
1
2
3
18
9
6
20
00
1
20
20
00
20
1
20
00
2
10
•
3
•
9
473 no es múltiplo ni de 3 ni de 9.
• 473 → 4 + 7 + 3 = 14
20 4
00 5
10
2
20 5
00 4
Practica los criterios de divisibilidad por
2, 3, 5, 9 y 10.
Los múltiplos de 5, y solo ellos, terminan en 0 o 5, y los de 10, en 0.
• Un número es divisible por 5 (es múltiplo de 5) si termina en 0 o en 5.
• Un número es divisible por 10 (es múltiplo de 10) si termina en 0.
■ DIVISIBILIDAD POR
•
• 418 → (4 + 8) – (1) = 11
Es múltiplo de 11.
• 1 543 → (5 + 3) – (1 + 4) = 3
No es múltiplo de 11.
• 7 458 → (7 + 5) – (4 + 8) = 0
Es múltiplo de 11.
4 ∙ 5 = 20
• Para obtener todos los divisores de un número, a, buscamos las divisiones
exactas:
a:b=c
→ a = b · c → Entonces b y c son divisores de a.
a:c=b
• Todo número es divisor de sí mismo. → a : a = 1
•
3 ∙ 16 = 48 → 4 + 8 = 12 → 3
3 ∙ 47 = 141 → 1 + 4 + 1 = 6 → 3
Comprueba, también, que eso solo les ocurre a los múltiplos de 3.
Toma cualquier múltiplo de 9 y suma sus cifras. Obtendrás un múltiplo de 9.
•
9 ∙ 21 = 189 → 1 + 8 + 9 = 18 → 9
•
9 ∙ 68 = 612 → 6 + 1 + 2 = 9 → 9
Comprueba, también, que eso solo les ocurre a los múltiplos de 9.
• Un número es divisible por 3 (es múltiplo de 3) si la suma de sus cifras es
• Un número es divisible por 9 (es múltiplo de 9) si la suma de sus cifras es
múltiplo de 9.
11
Toma algunos múltiplos de 11, por ejemplo: 11 · 34 = 374 y 11 · 347 = 3 817
Ejemplos
Observa, también, que forman parejas cuyo producto es 20:
3 Y POR 9
Toma cualquier múltiplo de 3 y suma sus cifras. Obtendrás un múltiplo de 3.
■ DIVISIBILIDAD POR
Son todas las cantidades entre las que se puede dividir 20 de forma exacta.
2 ∙ 10 = 20
10 → 10 - 20 - 30 - 40 - … - 120 - 130 - … - 200 - 210 - …
múltiplo de 3.
En la web
Los números 1, 2, 4, 5, 10 y 20 son los divisores de 20.
1 ∙ 20 = 20
5 Y POR 10
Observa las series de los múltiplos de 5 y de 10:
Cada uno de ellos se obtiene multiplicando 20 por un número natural. Y la serie
puede continuar indefinidamente.
20 · 1
↓
20
2
Ejemplos
•
18 = 3 → 18 es múltiplo de 3.
Ahora, observa:
3+4=7
3 7 4 7–7=0
7
8 + 7 = 15
3 8 1 7 15 – 4 = 11
3+1=4
Si, en cada uno, sumas por un lado las cifras de las casillas rojas, y por otro, las
de las casillas verdes, y restas los resultados, obtienes cero u once.
Comprueba, también, que solo ocurre con los múltiplos de 11.
Un número es divisible por 11 si la suma de las cifras de lugar par menos la
suma de las cifras de lugar impar es 0 o un múltiplo de 11.
• El 1 es divisor de cualquier número. → a : 1 = a
48
49
Sugerencias
• Tratamos, ahora, distintos procedimientos para encontrar los múltiplos
de un número:
• Podemos también proponer actividades destinadas a investigar las propiedades de los divisores:
– ¿Cuál es el mayor divisor de un número?
– Si a es divisor de b y b lo es de c, ¿es a divisor de c?
– Buscar cantidades que lo contienen un número exacto de veces.
– Buscar cantidades divisibles por el número.
– Multiplicar el número por cualquier otro número natural. Este procedimiento ayuda a ver que es posible encontrar tantos múltiplos de un
número como se desee.
• Los criterios de divisibilidad son reglas prácticas que apoyan el cálculo
mental y simplifican multitud de tareas, todas ellas relacionadas con los
contenidos que se presentarán en las próximas páginas.
Estas reglas se descubren aquí a través de la observación de regularidades en conjuntos numéricos apropiados, quedando la demostración rigurosa para niveles superiores.
• Por otro lado, vale la pena que los alumnos y las alumnas, de forma individual o en pequeño grupo, mediante propuestas guiadas, investiguen
algunas propiedades:
Ahora nos interesa, sobre todo, su adquisición práctica y su aplicación
con agilidad y destreza.
– Buscar el menor múltiplo de un número dado.
– Buscar un múltiplo comprendido entre dos valores a y b.
– Buscar números que sean a la vez múltiplos de 2 y de 3. ¿Son múltiplos de 6?
– Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, ¿es a múltiplo de c?
• Abordamos, también, la construcción del conjunto de los divisores de
un número dado. Para ello, proponemos ir buscando divisiones exactas
que tengan al número por dividendo.
• Señalaremos a los estudiantes que un número tiene una cantidad finita
de divisores, en contraste con los múltiplos, que son infinitos.
• Resaltaremos también el hecho de que los divisores van emparejados
como consecuencia de las relaciones entre los términos de una división
exacta:
D : d = c; D : c = d; d · c = D
Esta propiedad solo se rompe en los cuadrados perfectos, en los que
hay un divisor que se empareja consigo mismo. De ahí que todos los
números tienen una cantidad par de divisores, excepto los cuadrados
perfectos.
54
3
UNIDAD
Emprendimiento
Se sugiere la siguiente actividad:
Investiga.
Los divisores de un número van emparejados. Sin embargo, hay números
con una cantidad impar de divisores. ¿Cuáles son?
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan los siguientes ejercicios, todos ellos del cuaderno n.º 2
de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 24.
Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 25.
Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 27.
Ampliación: Ejercicios 4, 5 y 6 de la pág. 24.
Ejercicios 4 y 5 de la pág. 25.
Ejercicios 4 y 5 de la pág. 27.
Soluciones de “Piensa y practica”
1
3
Ejercicios resueltos
Calcular los múltiplos
de 17 comprendidos entre 150 y 200.
Los números
naturales
Primero, buscaremos los múltiplos de 17 próximos a 150:
1.
150 17 17 · 8 = 136
14 tenido
8
17 sistema
· 9 = 153de→numeración.
primer múltiplo
17 mayor que 150.
Todas las civilizaciones han
un
Estosdehan
pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.
17 · 10 = 170
2 a)1,
4,
8
←•→12,
⎯→
18
= 2 · 918 →
←• 2 ⎯→
17 · 11 = 187
8
44
4
En la web
44
00
2
22
5
8
44
2
Egipcios
Ya tenemos seis divisores
de 44:
3500 a.C.
Mayas
2000 a.C.
Resuelve el problema
"Las estanterías".
Romanos
1 ↔ 44
100 a.C.
44
14
2
6
7
2 ↔ 22
3
14
44
00
44
2
→
←
d)1,
2, 4, 7, 14,
28
23
4
11
e)1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
7
6
2000 a.C.
f ) 1, 5, 11, 55
13 = 13 · 1
18como
+ 36 +13,
+ 288
=se414
Los 12,
números,
que
no
pueden descomponer en factores más sencig)1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,
15,
20,7230,
60
4 ↔ 11
Chinos
3500 a.C.
Piensa y practica
7. ¿Verdadero o falso?
a) Tres múltiplos de 9.
b) Tres múltiplos de 15.
a) Un múltiplo de a es igual o mayor que a.
c) Tres múltiplos de 17.
d) Tres múltiplos de 40.
b) Un divisor de a es siempre menor que a.
c) Un número tiene infinitos divisores.
2. Encuentra todos los divisores de cada número:
a) 8
b) 12
c) 15
d) 28
e) 36
f ) 55
g) 700
60 d.C.
h) 80
Árabes
d) Los múltiplos de un número son infinitos.
e) Todo número es a la vez múltiplo y divisor de sí
Hindúes
mismo.
500 a.C.
3. Busca todos los múltiplos de 7 comprendidos entre
300 y 360.
Sistema decimal
que usamos
a) ¿Cuál es el primer múltiplo de 8 mayor que 100?
4.
8. De los números siguientes, ¿cuáles son múltiplos de
3? ¿Y de 5? ¿Y de 9? ¿Hay algún múltiplo de 11? Justifica tus respuestas.
b) ¿Cuál es el último múltiplo de 8, antes de 1 000?
5. Encuentra todos los divisores de:
a) 7
b) 13
c) 17
173 510 555 576 679 754 774 1 023
L
Copia yde
sigue
las instrucciones.
os9.
sistemas
numeración
sirven para escribir números
d) 29
¿Qué observas?
6. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir
y, así, recordarlos
y transmitirlos.
Pero
deben
tam108; 123; 162;
215; 247; 315;
328;
370;servir,
417; 455
bién, para operar con ellos. Piensa en el sistema romano (que
a) Rodea
de rojoselos
depara
2. efectuar sumas.
ya conoces)
y en cómo
lasmúltiplos
apañarían
Por ejemplo,
MCCCXLVI
+ DCCCXXXIV.
Pues
b) Rodea
de azul los
múltiplos de ¿Complicado?
3.
enimagina lo
difícil que tendría que ser multiplicar.
equipos iguales los 24 alumnos y alumnas de una clase? ¿Cuántos equipos salen en cada caso?
c) Los múltiplos de 2 y de 3, ¿son también múltiplos
de 6?
En la web
414
El 13 no se puede descomponer
Babilonios
Y no es necesario buscar más, pues en las divisiones que siguen, entre 8,
9, 10, … el cociente es menor que el dividendo. Es decir, solo lograríamos
encontrar exactas las que ya conocemos de antemano: 44 : 11, 44 : 22 y
44 : 44, cuyos cocientes son 4, 2 y 1.
1. Escribe.
144
= 2 ·15
3·3
c)←•
1,→163,18⎯→
5,
288 →
Buscamos, ordenadamente, las divisiones exactas con dividendo 44:
1
44
36 →
Los divisores de un número permiten expresarlo en forma de producto.
Escribían dos columnas de números siguiendo las siEjemplo
Z
guientes
reglas:
]18 = 2 · 9
DIVISORES
– En la primera,
duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepan " [18 = 3 · 6
18 " d
sar el primer
nuestro ]caso, sin pasarse de 23.
1 - 2 -factor;
3 - 6 - 9en- 18
18 = 2 · el
3 ·segundo
3
– La segunda, duplicaban sucesivamente
fac\
tor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían
Los números,
como
18, columna.
que se pueden descomponer en factores más sencillos
duplicado
1 en la
primera
se llaman números compuestos.
– Después, en la primera columna tomaban los números
necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer
Sin
embargo, hay números que solo tienen dos divisores (el mismo número y la
factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23:
unidad), lo cual impide su descomposición.
1 + 2 + 4 + 16 = 23
Ejemplo
– Para concluir, cogían, en la segunda columna, los núDIVISORES
de la primera
n " 13a= los
1meros
3 " dcorrespondientes
13 ·sumandos
1
13sumaban. En nuestro caso:
columna y1 -los
18 3,
= 3 ·4,
672 6, 12
b)1,
←•→42,
⎯→
→
17 · 12 = 204
2. Calcular todos los divisores de 44.
44
00
3
Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo
c)
17, 34, 51, 68, 85, 102, …
d)40, 80, 120, 160, 200, 240, …
hacían 23 × 18.
Descomposiciones de 18
Entonces, los múltiplos de 17 entre 150 y 200 son:
17 · 9 = 153
UNIDAD
1Números
a)9, 18, 27,primos
36, 45, 54,
…
b)15, 30, 45, 60, 75, 90, …
y compuestos
Así multiplicaban
los antiguos
egipcios
Resuelve el problema "Los collares".
50
llos se
llamanen
números
primos.
El resultado de la suma
obtenida
la columna
de la derecha era el producto buscado. En nuestro ejemplo:
Un número
primo 80
solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
h)1, 2, 4, 5, 8, 10, 16,
20,
40,
23 × 18 = 414
En la tabla se han marcado:
3 301, 308, 315, 322,— 329,
336,de 343,
350,
los múltiplos
2, •, excepto
el 2.357
1
4 a)Es el 104.
13
En la web
Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio:
Marca números primos en una1 tabla
numérica.
a) 17 × 41 — los múltiplos
b) 41 × de
17 3, •, excepto el 3.
5 a)1, 7
En la web
— los múltiplos de 5, •, excepto b)Es
el 5.
el 992.
— … y así, sucesivamente, con los múltiplos
de 7, ⊕; de 11, *; de 13, ▲; …
b)1, 13
7
c) 1, 17
19
25
•
2
3
8
9
•
•
14⊕ 15
•
••
20 21
•• •⊕
26 27
•▲ •
4
•
10
••
16
•
22
•*
28
•⊕
6
••
12
••
17 18
••
23 24
••
29 30
•••
5
11
d)1, 29
Los números sin marcar, rodeados con un círculo, son los primos menores que
Clasifica
y compuestos.
6en primos
5 número
30. Comprueba
que ninguno
de ellos seél
puede
descomponer
factores.
sí multiplicaban
losdos
antiguos
hindúes
Cada
tiene
solo
divisores,
mismo
y laenunidad.
3
0
4
7
– En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los
2
0
4
2
El
número
1,
como
solo
tiene
un
divisor,
no
se
considera
primo.
Cualquier
3
dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la ca1 2
5 42 equipos
8
número, o es primo o es compuesto.
de
1; 1otroequipo
2
silla
sombreada,
4 × 7 = 28. de 24; 12 equipos de 2; 2 equipos de
2 1
1 yequipos
12
Piensa
practica
– Se 3;
suman
resultados en de
vertical.
columna de 4; 4 equipos de 6
de
3 los
equipos
8;En6cada
equipos
9 6
solo cabe un dígito.
1. Clasifica en primos y compuestos.
4. ¿Verdadero o falso?
1 2
a) El número uno (1) no es primo ni compuesto.
1 59 87 11
2 215 21 28 31 33 45 49
A
6
7 a) Verdadero
b) Falso
c) Falso
2. Entre estos números hay dos primos. Búscalos.
d) Verdadero
12; 8
e) Verdadero
b) No hay números primos mayores que 100.
c) Un número, si es impar, es primo.
47 57
siguiendo
este método,
las siguientes
multiplicaciones:
2 Efectúa,
Expresa
cada
uno
los compuestos
coMúltiplos
de
3:de 510,
555, 576,
774
y 1 023,
pues
suma
deimpares.
sus
d) Todos
los números
primos,la
excepto
el 2, son
67
mo un producto
de dos factores.
a) 208 × 34
b) 453 × 26
77 87
múltiplo de tres.
5. Descompón el número 100.
3 Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál
8
En dos factores.
3. Busca todos los números
primos
menoresyque
60. Justifica tua)respuesta.
te parece
más cómoda
efectiva?
cifras es
b) En tres factores.
Múltiplos de 5: 510 y 555, pues c)acaban
en 0 o en 5.
En el máximo número de factores que sea posible.
Son diecisiete en total.
Múltiplos de 9: 576 y 774, pues la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Múltiplos de 11: 1 023, pues (3 + 0) – (2 + 1) = 0.
51
9 a)108, 162, 328, 370
Sugerencias
• El ejercicio resuelto 1 se centra en la búsqueda de los múltiplos de un
número que están comprendidos entre dos cantidades dadas. Incide,
por tanto, en reforzar el concepto de múltiplo, marcando pautas que
serán muy útiles para resolver problemas similares.
b)108, 123, 162, 315, 417
c) Sí, 108 = 6 · 18 y 162 = 6 · 27
ANOTACIONES
• El ejercicio resuelto 2 pide buscar todos los divisores de un número, remarcando de nuevo la diferencia entre la finitud de los divisores y la infinitud de los múltiplos. A la vez, se hace uso de la propiedad que dicta
que los divisores de un número van emparejados.
• Podemos proponer la búsqueda de los criterios de divisibilidad por 6, 9,
25 o 100, donde los alumnos y las alumnas tendrán que combinar criterios ya conocidos.
En estos ejercicios de ampliación, la tarea de detectar regularidades y
las de formular y comprobar hipótesis tienen valor por sí mismas para el
estímulo de capacidades y para la implantación de competencias en los
estudiantes, más allá de la obtención de reglas prácticas para el cálculo.
TIC
Se sugiere la siguiente actividad:
Busca en Internet el criterio de divisibilidad por 7. Escríbelo en tu cuaderno y pruébalo con distintos números.
Emprendimiento
Se sugiere la siguiente actividad:
Reflexiona.
¿Qué le tiene que ocurrir a un número para ser múltiplo de 20? Enuncia el
criterio de divisibilidad por 20.
55
3
2 Primos → 47 y 67
1
UNIDAD
Compuestos → 57 = 3 · 19
3
Números primos y compuestos
Así multiplicaban los antiguos
77 = 7egipcios
· 11
Los números naturales
Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo
hacían 23 × 18.
Los divisores de un número permiten expresarlo en forma de producto.
Descomposiciones de 18
Ejemplo
Z
18numeración.
=2·9
Todas
Estos han
→ 18
= 2 · 9las civilizaciones han tenido un sistema ]de
DIVISORES
pasado de unos pueblos
n " [18 =a3lo
18 " da otros y han evolucionado
· 6largo del tiempo.
1 - 2 - 3 - 6 - 9 - 18
]
→ 18 = 3 · 6
18 = 2 · 3 · 3
\
→ 18 = 2 · 3 · 3
13 " d
Mayas
1 - 13
n " 13 = 13 · 1
c)Falso
En la tabla se han marcado:
— los múltiplos de 2, •, excepto el 2.
— los múltiplos de 3, •, excepto el 3.
— los múltiplos de 5, •, excepto el 5.
— … y así, sucesivamente, con los múltiplos
de 7, ⊕; de 11, *; de 13, ▲; …
En la web
7
13
19
25
•
2
3
8
9
•
•
14⊕ 15
•
••
20 21
•• •⊕
26 27
•▲ •
4
•
10
••
16
•
22
•*
28
•⊕
Árabes
700 d.C.
6
••
12
••
17 18
••
23 24
••
29 30
•••
Son diecisiete en total.
L
b) 41 × 17
ANOTACIONES
6
5
3 0 7
3 2 0 4 2
1 5 2 8
2
2 1
4
12
9 6
1 2
1 9 7 2 2
a) El número uno (1) no es primo ni compuesto.
Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio:
a) 17 × 41
1
Así multiplicaban los antiguos hindúes
– En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los
dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la casilla sombreada, 4 × 7 = 28.
– Se suman los resultados en vertical. En cada columna
solo cabe un dígito.
b) No hay números primos mayores que 100.
ya conoces) y en cómo se las apañarían para efectuar sumas.
5. Descompón
el número
100.
Por ejemplo,
MCCCXLVI
+ DCCCXXXIV.
¿Complicado? Pues
imagina loa)difícil
quefactores.
tendría que ser b)
multiplicar.
En dos
En tres factores.
c) En el máximo número de factores que sea posible.
51
Sugerencias
• Se sugiere abordar el epígrafe con actividades manipulativas como la
que se representa en el margen: “Buscar todas las formas de construir
ortoedros con n cubitos”. Los alumnos y las alumnas descubrirán que
hay números que ofrecen una sola solución a la propuesta anterior, son
los números que no se pueden descomponer, los números primos.
• Se señalará que primo significa “primero”, en el sentido de que son las
piezas con las que se construirán, mediante el producto, todos los demás números.
• Posteriormente se propone una criba de Eratóstenes en la que aparecen los números primos menores que 30. Como actividad complementaria, se sugiere continuar dicha criba hasta el 50 o hasta el 100.
Refuerzo y Ampliación
Se recomiendan los siguientes ejercicios del cuaderno n.º 2 de
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1, 3 y 6 de la pág. 26.
Ampliación: Ejercicios 2, 4 y 5 de la pág. 26.
Emprendimiento
Se sugiere la siguiente actividad:
Busca el menor número primo mayor que 500.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 Primos → 5, 11, 31
Compuestos → 8, 15, 21, 28, 33, 45, 49
56
1
11
os sistemas de numeración sirven para escribir números
c) Un número, si es impar, es primo.
Expresa cada uno de los compuestos co- y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, tamTodoscon
los números
primos,
excepto
el 2,
son impares.
bién, parad)
operar
ellos. Piensa
en el
sistema
romano
(que
mo un producto de dos factores.
3. Busca todos los números primos menores que 60.
c) 100 = 2 · 2 · 5 · 5
5
Chinos
4. ¿Verdadero o falso?
5 8 11 15 21 28 31 33 45 49
2. Entre estos números hay dos primos. Búscalos.
1 + 2 + 4 + 16 = 23
– Para concluir, cogían, en la segunda columna, los números correspondientes a los sumandos de la primera
columna y los sumaban. En nuestro caso:
ducto buscado. En nuestro ejemplo:
3500 a.C.
El número 1, como solo tiene un divisor, no se considera primo. Cualquier
Hindúes
otro número, o es primo o es compuesto.
500 a.C.
Piensa y Sistema
practica decimal
que usamos
1. Clasifica en primos y compuestos.
– Después, en la primera columna tomaban los números
necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer
factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23:
b)100 = 2 · 2 · 25 = 4 · 523·×518 =
10 · 2 · 5
= 414
Los números sin marcar, rodeados con un círculo, son los primos menores que
30. Comprueba que ninguno de ellos se puede descomponer en factores.
Clasifica en primos y compuestos.
47 57
67
77 87
1
– La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo factor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían
duplicado 1 en la primera columna.
18 + 36 + 72 + 288 = 414
5 a)100 =El resultado
2 · 50de=la 4suma
· 25
obtenida en la columna de la derecha era el pro-
Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
En la web
414 ←
d)Verdadero
Los Romanos
números, como 13,3500
quea.C.no se pueden descomponer en factores más senci100 a.C.
llos se llaman números primos.
Marca números primos en una tabla
numérica.
72 →
→ 23
b)Falso
2000 a.C.
Egipcios
2000 a.C.
←• 4 ⎯→
←• 16 ⎯→ 288 →
Babilonios
DIVISORES
13 = 13 · 1
18 →
8
144
4 a)Verdadero
Sin embargo, hay números que solo tienen dos divisores (el mismo número y la
unidad), lo cual impide su descomposición.
Ejemplo
←• 1 ⎯→
En la-primera,
1 sin- sobrepa3 2 -←•3 2- ⎯→
5 - 736- →
11 - –13
17 - duplicaban
19 - 23sucesivamente
- 29 - 31
37 - 41 - 43 - 47 - 53 - 59
sar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23.
Los números, como 18, que se pueden descomponer en factores más sencillos
se llaman números compuestos.
El 13 no se puede descomponer
87 = 3 · 29
Escribían dos columnas de números siguiendo las siguientes reglas:
2
Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:
a) 208 × 34
3
b) 453 × 26
Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál
te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta.
4 Descomposición de un número en sus factores primos
¿Cuál es la relación entre la descomposición
de un número y la descomposición de sus múltiplos?
Compara los divisores primos de 40 con los de algunos de sus múltiplos:
Un número, si no es primo, se puede descomponer en factores, y estos, a su vez,
en otros factores, hasta que todos sean primos.
40 =
Veamos dos formas de conseguir esa factorización:
• Si el número es pequeño, puedes apoyarte en el cálculo mental.
los divisores de un número
• Sin embargo, para números mayores conviene actuar con método, teniendo en
cuenta los criterios de divisibilidad.
Ejemplo
factores
primos
Descomponer 792 en factores primos.
792 2
→
396 2
→
198 2
→
99 3
→
33 3
→
11 11
→
1
792 = 23 · 32 · 11
792 : 2
396 : 2
198 : 2
99 : 3
33 : 3
11 : 11
792 es divisible entre 2 → 792 =
2 · 396
396 es divisible entre 2 → 792 =
2 · 2 · 198
198 es divisible entre 2 → 792 =
2 · 2 · 2 · 99
99 es divisible entre 3 → 792 =
2 · 2 · 2 · 3 · 33
33 es divisible entre 3 → 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11
Como el último factor (11) es primo, hemos terminado la descomposición:
792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11 = 23 · 32 · 11
Todo el proceso se suele abreviar como se indica al margen.
En la web
Piensa y practica
1. Calcula mentalmente y completa en tu cuaderno la
descomposición en factores de estos números:
8 × 10
×
×
4. Copia, completa y descompón en factores primos.
4 2
×
7
25 ×
×
×
×
1
42 = …
c) 40
d) 72
a) 45
f ) 240
3. ¿Qué números tienen las siguientes descomposiciones
b) 2 · 5 · 13
b) 60
c) 76
d) 81
e) 88
f ) 98
6. Escribe como producto de números primos.
factoriales?
a) 22 · 32 · 5
126 = …
5. Descompón en factores primos.
e) 150
c ) 2 · 52 · 7
¿Cuál es la relación entre la descomposición
de un número y la descomposición de sus divisores?
Compara, ahora, los factores primos de 40 con los de algunos de sus divisores:
40 =
2·2·2·5
40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5
40 = 4 · 10 = 2 · 2 · 2 · 5
40 = 2 · 20 = 2 · 2 · 2 · 5
Un divisor de 40 contiene algunos
de los factores primos de 40.
En la descomposición de los divisores de un número aparecen algunos de los
factores primos del número (generalmente, no todos) y ningún factor más.
7. Contesta, sin hacer ninguna operación, y razona tus
respuestas como en el ejemplo.
• 18 es divisor de 90, porque todos los factores primos
de 18 están en 90 → 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 18 · 5
12 = 2 · 2 · 3
a) ¿Es 12 divisor de 270? *
270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5
126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 ·
b) 21 = 3 · 7
c) 18 = 2 · 3 · 3
d) 28 = 2 · 2 · 7
21
55
c) 495 : 55 ↔ 495 = 3 · 3 · 5 · 11
b) 350
c) 580
a) Tres múltiplos de 12 = 22 · 3.
d) 888
e) 1 024
f ) 1 296
b) Tres múltiplos de 45 = 32 · 5.
En la web
12. ¿Verdadero o falso?
a) Si m es múltiplo de n, todos los factores primos
de m están también en n.
b) Si a es divisor de b, todos los factores primos de
a están también en b.
c) El número a2 ∙ b es divisor del número a ∙ b2.
d) El número a2 ∙ b2 ∙ c es múltiplo de a ∙ b ∙ c.
9. Escribe factorizados, sin hacer operaciones:
a) 170
b) 80 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5
Responde a simple vista, sin dividir, cuál es el
cociente en cada caso:
b) 294 : 21 ↔ 294 = 2 · 3 · 7 · 7
·7
a) 4 = 2 · 2
a) 70 = 2 · 5 · 7
11.
12
126, averigua, a simple vista, cuáles de los números
que aparecen a continuación están entre sus divisores:
32
10. Escribe todos los divisores de:
a) 300 : 12 ↔ 300 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5
8. Teniendo en cuenta la descomposición en factores de
1
90 = …
En la descomposición de los múltiplos de un número aparecen todos los factores primos del número (y, generalmente, algunos más).
270 = 2 · 3 3 · 5
b) ¿Es 270 múltiplo de 18? *
18 = 2 · 3 2
2 1
×
• 24 = 6 · 4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 23 · 3
b) 20
1 2 6
3
2. Descompón artesanalmente, como en el ejemplo.
a) 18
9 0
100
80
Con el número descompuesto en factores, buscamos todos los productos
posibles entre ellos.
Por ejemplo, calculemos los divisores
de 40:
40 = 1 · 2 · 2 · 2 · 5
1=1
2=2
5=5
2·2=4
2 · 5 = 10
2·2·2=8
2 · 2 · 5 = 20
2 · 2 · 2 · 5 = 40
Piensa y practica
Para descomponer un número en sus factores primos (factorizar), lo vamos
dividiendo entre sus factores primos: primero, entre 2 tantas veces como sea
posible; después, entre 3, entre 5, … y así, sucesivamente, hasta obtener 1 en
el cociente.
Practica la descomposición de un número
en sus factores primos.
Practica un poco más esta descomposición.
40 · 6 = 240 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5
Otra forma de obtener
36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32
cocientes
parciales
Un múltiplo de 40 contiene todos
los factores primos de 40.
40 · 5 = 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5
Descomponer 36 en factores primos.
Factorización del 792
2·2·2·5
40 · 3 = 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5
Ejemplo
e) Si un número, u, tiene los mismos factores primos que otro número, v, pero con los exponentes mayores, entonces u es múltiplo de v.
Encuentra los divisores de un número.
52
53
Sugerencias
• Aquí se puede insistir en el significado de los números primos (piezas
básicas para construir todos los demás). Así, la descomposición de un
número nos permitirá establecer relaciones de divisibilidad con otros
números, descubrir todos sus divisores, construir sus múltiplos y, luego,
calcular ágilmente el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, herramientas que ayudarán a resolver problemas y facilitarán nuevos procedimientos matemáticos.
• Desde el punto de vista didáctico, se puede empezar descomponiendo
números con lo que ya se sabe, sin instrucciones previas. Por ejemplo:
400 = 4 · 100 = 4 · 10 · 10 = 2 · 2 · 2 · 5 · 2 · 5
• El alumnado debe llegar a la conclusión de que la descomposición en
factores de un número es única, sin que importe el orden en que se obtenga, pero, aun así, por cuestión de eficacia, conviene acostumbrarse a
proceder ordenadamente probando con los sucesivos números primos,
de menor a mayor.
• Como último objetivo del epígrafe, los estudiantes han de reconocer y
construir múltiplos y divisores de un número a partir de sus divisores
primos. Aquí reforzaremos las ideas de todos los divisores primos, para
los múltiplos, y solo algunos, para los divisores. Este aprendizaje es básico en la comprensión de los procedimientos óptimos para el cálculo del
mínimo común múltiplo y del máximo común divisor.
Refuerzo y Ampliación
Como ejercicios de refuerzo y ampliación recomendamos, del cuaderno
n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 28.
3
UNIDAD
Ejercicios 2, 3 y 4 de la pág. 29.
Ampliación: Ejercicio 5 de la pág. 29.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 80 = 8 · 10 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5
100 = 25 · 4 = 5 · 5 · 2 · 2
2 a)18 = 2 · 9 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32
b)20 = 4 · 5 = 2 · 2 · 5 = 22 · 5
c) 40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5 = 23 · 5
d)72 = 8 · 9 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32
e)150 = 10 · 15 = 2 · 5 · 3 · 5 = 2 · 3 · 52
f ) 240 = 24 · 10 = 8 · 3 · 2 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 · 5 = 24 · 3 · 5
3 a)
180b)
130c)
350
4 42 = 2 · 3 · 7
90 = 2 · 32 · 5
126 = 2 · 32 · 7
5 a)45 = 32 · 5
b)60 = 22 · 3 · 5
c) 76 = 22 · 19
e)88 = 23 · 11
f ) 98 = 2 · 72
b)350 = 2 · 52 · 7
c) 580 = 22 · 5 · 29
e)1 024 = 210
f ) 1 296 = 24 · 34
d)81 = 34
6 a)170 = 2 · 5 · 17
d)888 = 23 · 3 · 37
7 a)12 no es divisor de 270 porque no todos los factores de 12 están en
la descomposición de 270.
b 270 sí es múltiplo de 18 porque en su descomposición están todos
los factores primos de 18.
8 b)21 y c) 18.
9 a)22 · 32; 22 · 3 · 5; 22 · 3 · 7
b)2 · 32 · 5; 32 · 52; 32 · 5 · 7
10 a)1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
11 a)5 · 5 = 25
12 a)Falso
b)1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 80
b)2 · 7 = 14
b) Verdadero
c) Falso
c) 3 · 3 = 9
d) Verdadero
e) Verdadero
57
5
UNIDAD
Mínimo común múltiplo de dos números
El método anterior resulta apropiado para números sencillos, pero se complica
demasiado con números mayores.
La resolución de ciertos problemas exige el manejo de los múltiplos comunes de
varios números. Veamos un ejemplo:
Observa una nueva forma de calcular el mínimo común múltiplo con los números descompuestos en factores primos.
Ejemplo
Ejemplo
En una compañía de taxis, tienen por norma lavar los coches cada cuatro días y revisar el nivel de aceite cada 6 días.
Método artesanal
Calcular mín.c.m. (20, 30).
¿Cada cuántos días coinciden en un coche ambas tareas de mantenimiento?
múltiplos
→ 20 - 40 - 60 - 80 …
de 20
• Primer paso: Descomponer en factores primos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 26
múltiplos
→ 30 - 60 - 90 - 120 …
de 30
mín.c.m. (20, 30) = 60
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 26
múltiplos
→ 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - 24
de 4
múltiplos
→ 6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36
de 6
múltiplos4 → 12 - 24 - 36 - 48
comunes
Ambas coinciden en los días que son múltiplos comunes de 4 y 6, y se repiten
cada 12 días.
12
24
+12
36
+12
48
+12
…
El menor de los múltiplos comunes de dos o más números, a, b, c, … se
llama mínimo común múltiplo, y se expresa así:
mín.c.m. (a, b, c, …)
mín.c.m. (4, 6) = 12
Calcula el mín.c.m. de dos números.
+12
El menor de estos múltiplos comunes es 12 y recibe el nombre de mínimo común múltiplo de 4 y 6.
Cálculo del mínimo común múltiplo (método artesanal)
Ten en cuenta
Cuando uno de los números es múltiplo del otro, el mín.c.m. es el mayor.
Ejemplo: mín.c.m. (15, 30) = 30
Compruébalo.
15 = 3 · 5
30 = 2 · 3 · 5
15
3·5
mín.c.m. (15, 30) = 2 · 3 · 5 = 30
Para obtener el mínimo común múltiplo de dos números:
2·3·5
30
• Escribimos los múltiplos de cada uno.
• Entresacamos los comunes.
Ejercicio resuelto
Múltiplos de 10 → 10 20 30 40 50 60 70 …
Múltiplos de 15 → 15 30 45 60 75 90 105 …
Múltiplos comunes → 30 - 60 - 90 …
El menor de los múltiplos
4 → mín.c.m. (10, 15) = 30
comunes de 10 y 15 es 30.
2
2
5
20 = 22 · 5
3 0
1 5
5
1
2
3
5
30 = 2 · 3 · 5
Recordando que el mín.c.m. ha de ser múltiplo de 20 y de 30, y lo más pequeño posible, hemos de tomar:
20
— Todos los factores primos de 20.
2·2·5
— Todos los factores primos de 30.
mín.c.m. (20, 30) = 2 · 2 · 3 · 5
— El mínimo número de factores
2·3·5
que sea posible.
30
Comprueba que todos los factores escogidos son imprescindibles, pues si se
suprime cualquiera de ellos, deja de ser múltiplo de alguno de los números.
• Tercer paso: Calcular, finalmente, el mín.c.m.
mín.c.m. (20, 30) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman todos los factores primos (comunes y no comunes) elevado cada
uno al mayor exponente con el que aparece.
3. Se multiplican los factores elegidos.
Problema resuelto
• Tomamos el menor.
Calcular mín.c.m. (10, 15).
2 0
1 0
5
1
• Segundo paso: Elegir los factores primos del mín.c.m.
En la web
Cálculo del mín.c.m. (4, 6)
Cálculo del mín.c.m. (45, 40)
4 5
1 5
5
1
3
3
5
4 0
2 0
1 0
5
1
2
2
2
5
mín.c.m. (45, 40) = 23 · 32 · 5 = 360
Un distribuidor de electrodomésticos desea cargar dos palés, uno con lavavajillas de 45 kg y otro con frigoríficos de 40 kg, de forma que ambos pesen
lo mismo y lo menos posible. ¿Cuánto pesará cada palé?
La carga de un palé será un múltiplo común de 45 kg y de 40 kg, y además el
más pequeño posible, es decir, su mínimo común múltiplo.
360 : 45 = 8 lavavajillas
mín.c.m. (45, 40) = 360 kg *
360 : 40 = 9 frigoríficos
Solución: Cada palé pesará 360 kilos, uno con 8 lavavajillas y el otro con 9 frigoríficos.
54
Sugerencias
• Presentamos la idea de mínimo común múltiplo contextualizado en un
ejemplo sencillo, y con ayuda de un gráfico, haciendo hincapié en que
las dos colecciones de números representadas coinciden con los sucesivos múltiplos de 4 y de 6. Después, generalizando el proceso, presentamos el primer método para la obtención del mínimo común múltiplo.
• En él, destacamos las siguientes etapas:
– Construcción de las series ordenadas de los primeros múltiplos de cada número.
– Intersección de las series obtenidas.
– Selección del menor número de la intersección.
55
Refuerzo y Ampliación
Como ejercicios de refuerzo y ampliación recomendamos, del cuaderno
n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág. 30. Ejercicios 6, 7, 8 y 9 de la
pág. 31. Ejercicio 10 de la pág. 32.
Ampliación: Ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la pág. 36. Ejercicio 9 de la pág. 37.
Aprendizaje cooperativo
Si la programación lo contempla, se sugiere la siguiente dinámica metodológica, que persigue afianzar los procedimientos para el cálculo del
mín.c.m., recurriendo al aprendizaje entre iguales:
Se trata, evidentemente, de un método artesanal que resulta muy adecuado en la etapa de construcción de ideas. Una vez adquirido el concepto de mínimo común múltiplo, se propone la optimización del cálculo mediante la descomposición en factores primos.
– Formar parejas según el criterio del profesorado (puede ser interesante
mezclar estudiantes con diferentes niveles de competencia).
• En este aprendizaje se sugiere que el estudiante, inicialmente, ante los
números descompuestos en factores primos, decida por sí mismo los
factores primos necesarios, sin el apoyo de ninguna regla. El trabajo
puede comenzar con la realización colectiva de ejemplos, en gran grupo,
y pasar después a la práctica individual seguida de cerca por el profesorado. La regla aparecerá, por sí sola, como resultado final de la praxis.
– En cada pareja, un alumno o alumna resolverá por el método artesanal,
y su compañero por el método óptimo.
Este camino fijará sólidamente el procedimiento y contribuirá a evitar
las dudas que observamos frecuentemente sobre la elección de factores y exponentes cuando los estudiantes tratan de aplicar mecánicamente el algoritmo sin haber comprendido los conceptos.
• El alumnado contrastará los dos métodos aprendidos, el artesanal y el
de los factores primos. Así, comprobará la ventaja del primero cuando
se trabaja con ejemplos sencillos, dándose cuenta de lo engorroso que
resulta cuando los números son más complicados. Es decir, podemos
dejar el primer método para el cálculo mental, y el segundo, para todos
los demás casos.
58
3
Cálculo del mínimo común múltiplo (método óptimo)
– Se propondrán ejercicios para calcular el mín.c.m.
– Si no coinciden los resultados, los mismos estudiantes, en colaboración,
deben descubrir los errores.
El profesorado hará las propuestas y actuará de supervisor.
ANOTACIONES
Piensa y practica
1. Copia, observa y completa a simple vista.
7. Calcula mín.c.m. (a, b) en cada caso. ¿Qué obser-
vas?:
a) a = 4
b=8
•
a) 6 → 6 12 18 24 30 36 42 48 54 …
•
8 → 8 16 24 32 40 48 56 …
mín.c.m. (6, 8) =
•
b) 9 → 9 18 27 36 45 54 63 72 …
•
mín.c.m. (9, 12) =
•
•
25 → 25 50 75 100 125 150 …
mín.c.m. (15, 25) =
2. Calcula como en el ejercicio anterior.
a) mín.c.m. (5, 8)
b) mín.c.m. (8, 12)
c) mín.c.m. (12, 24)
d) mín.c.m. (30, 40)
e) mín.c.m. (50, 75)
f ) mín.c.m. (200, 300)
9.
a) mín.c.m. (6, 9)
b) mín.c.m. (6, 12)
c) mín.c.m. (5, 10)
d) mín.c.m. (15, 20)
4. Observa, completa en tu cuaderno y calcula.
4 0
2 0
5 4
1
1
_
30 = 2 · 3 · 5 b
mín.c.m.(30, 40) = …
40 = …
`
b mín.c.m.(40, 54) = …
54 = …
a
5. Calcula mín.c.m. (a, b) por el método óptimo:
d) a =
24
·
32
c) a = 52 · 7
b = 22 · 52
b = 5 · 72
e) a = 2 · 5 · 11
f ) a = 23 · 3 · 5
b = 3 · 5 · 11
b = 22 · 32 · 5
b = 3 · 11
b = 22 · 3 · 5
4
8
Se van a colocar maceteros, a intervalos iguales, en las esquinas y bordes de un patio
interior de 8 × 12 metros.
6. Calcula.
a) mín.c.m. (20, 25)
b) mín.c.m. (28, 35)
c) mín.c.m. (35, 40)
d) mín.c.m. (36, 54)
e) mín.c.m. (42, 63)
f ) mín.c.m. (72, 108)
g) mín.c.m. (99, 165)
h) mín.c.m. (216, 288)
¿A qué distancia se debe colocar un macetero del siguiente?
Tanteando, se encuentran tres posibles soluciones:
6
12
10
20
12
18
30
A 1 metro de distancia.
Cálculo del máx.c.d. (8, 12)
16
…
24
…
divisores
→1-2-4-8
de 8
…
divisores
→ 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12
de 12
40
10. Victoria tiene fichas de colores que puede apilar en
b) a = 24 · 5
Ejemplo
Julio cuenta de cuatro en cuatro; Adela, de
seis en seis, y Virginia, de diez en diez. ¿Cuáles son
los tres primeros números en los que coinciden?
3. Calcula mentalmente.
a) a = 2 · 11
También encontrarás problemas que exigen el manejo de los divisores comunes a
varios números. Veamos un ejemplo:
d) a = 6
b = 18
a) El mínimo común múltiplo de dos números es
igual al mayor de ellos.
b) El mín.c.m. de dos números contiene los factores comunes a ambos y también los no comunes.
c) mín.c.m (1, k) = k
d) Si a es múltiplo de b, mín.c.m. (a, b) = a.
e) El mínimo común múltiplo de dos números primos es su producto.
c) 15 → 15 30 45 60 75 90 105 …
2
3
5
c) a = 4
b = 12
montones de 8 y, también, en montones de 10 sin
que sobre ninguna. Explica cuántas fichas puede tener Victoria y justifica tu respuesta.
3
Máximo común divisor de dos números
8. ¿Verdadero o falso?
12 → 12 24 36 48 60 72 84 …
3 0
1 5
5
1
b) a = 5
b = 10
6
UNIDAD
divisores
4→ 1 - 2 - 4
comunes
A 2 metros de distancia.
A 4 metros de distancia.
Las soluciones coinciden con los divisores comunes de 8 y 12:
1-2-4
El mayor de estos divisores comunes es 4 y recibe el nombre de máximo común
divisor de 8 y 12.
El mayor de los divisores comunes a dos o más números, a, b, c, … se llama
máximo común divisor, y se expresa así:
máx.c.d. (a, b, c, …)
máx.c.d. (8, 12) = 4
Cálculo del máximo común divisor (método artesanal)
11. Una fábrica envía mercancía a Valencia cada 6 días
y a Sevilla cada 8 días. Hoy han coincidido ambos
envíos. ¿Cuándo volverán a coincidir?
Para obtener el máximo común divisor de dos números:
• Escribimos los divisores de cada uno.
12. Se han construido dos columnas de igual altura: la
• Entresacamos los comunes.
primera apilando cubos de 40 cm de arista, y la segunda, con cubos de 30 cm de arista. ¿Qué altura alcanzarán sabiendo que superan los dos metros, pero
no llegan a tres?
• Tomamos el mayor.
Ejercicio resuelto
Calcular máx.c.d. (20, 30)
13. El autobús de la línea roja pasa por la parada, frente
Divisores de 20 → 1 2 4 5 10 20
a mi casa, cada 20 minutos, y el de la línea verde,
cada 30 minutos. Si ambos pasan juntos a las dos de
la tarde, ¿a qué hora vuelven a coincidir?
Divisores de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 30
Divisores comunes → 1 - 2 - 5 - 10
El mayor de los divisores
4 → máx.c.d. (20, 30) = 10
comunes de 20 y 30 es 10.
En la web
Resuelve los problemas: “Las balizas”, “Los coches”.
56
57
8 a)Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Verdadero e) Verdadero
Sugerencias
• Como en el caso del mínimo común múltiplo, una vez presentado el
concepto de máximo común divisor, se afianzará con el cálculo mediante el método artesanal:
9 60, 120 y 180.
10 El número de fichas de Victoria será múltiplo del mín.c.m (8, 10) = 40.
– Obtención de los respectivos conjuntos de divisores.
11 Ambos envíos coinciden cada 24 días.
– Intersección de los conjuntos obtenidos.
12 2,4 m
– Selección del mayor número de la intersección.
• Los estudiantes comprobarán, también aquí, que este método resulta
eficaz con números sencillos, y que siempre será un recurso cuando el
cálculo se haga mentalmente. Sin embargo, se complica demasiado
cuando los números son grandes.
13 Vuelven a coincidir una hora después, a las tres de la tarde.
ANOTACIONES
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a)
24b)
36c)
75
2 a)
40b)
24c)
24
d) 120
e) 150
f ) 600
3 a)
18b)
12c)
10d)
60
4 mín.c.m. (30, 40) = 23 · 3 · 5 = 120
mín.c.m. (40, 54) = 23 · 33 · 5 = 1 080
5 a) 66
b) 400
c) 1 225
d)
720e)
330f )
360
6 a)
100b)
140c)
280d)
108
e)
126f )
216g)
495h)
864
7 a)8
b)10
c) 12
d)18
Si b es múltiplo de a, mín.c.m. (a, b) = b.
59
3
UNIDAD
Cálculo del máximo común divisor (método óptimo)
Piensa y practica
El método que has aprendido en la página anterior resulta adecuado para números sencillos.
1. Copia en tu cuaderno, observa y completa.
En casos más complicados, resulta mucho más cómodo utilizar la descomposición en factores, como se muestra a continuación.
Ejemplo
Calcular máx.c.d. (40, 60).
Método artesanal
• Primer paso: Descomponer en factores primos.
Divisores
de 40
4 0
2 0
1 0
5
1
1 2 4 5 8 10 20 40
1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60
Divisores
de 60
2
2
2
5
40 = 23 · 5
6 0
3 0
1 5
5
1
2
2
3
5
60 = 22 · 3 · 5
• Segundo paso: Elegir los factores primos del máx.c.d.
máx.c.d. (40, 60) = 20
Recordando que el máx.c.d. ha de ser divisor de 40 y de 60, y lo más grande
posible, hemos de tomar:
40 = 2 · 2 · 2 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 5
— Los factores comunes de 40 y 60.
En la web
Calcula el máx.c.d. de dos números.
— Ningún factor no común.
— El máximo número de factores
que sea posible.
máx.c.d. (40, 60) = 2 · 2 · 5
• Tercer paso: Calcular, finalmente, el máx.c.d.
Ten en cuenta
Cuando uno de los números es múltiplo del otro, el máx.c.d. es el menor.
Ejemplo: máx.c.d. (15, 30) = 15
Compruébalo.
15 = 3 · 5
30 = 2 · 3 · 5
máx.c.d. (15, 30) = 3 · 5 = 15
máx.c.d. (40, 60) = 2 · 2 · 5 = 20
2 0 0
1 0 0
5 0
2 5
5
1
2
2
2
5
5
2 6 0
1 3 0
6 5
1 3
1
máx.c.d. (200, 260) = 22 · 5 = 20
2
2
5
13
7. Calcula máx.c.d. (a, b) en cada caso. ¿Qué observas?:
2 3 4 6 12
2 4 8 16
a) a = 4
8.
3 5 15
2 4 5 10 20
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al menor exponente con el que aparece.
3. Se multiplican los factores elegidos.
En un almacén quieren envasar, para su distribución, 200 kilos de manzanas y 260 kilos de naranjas en cajones del mismo peso y de la mayor carga
que sea posible. ¿Cuántos kilos deben poner en cada cajón?
El peso de un cajón debe ser un divisor común de 200 y 260, y además el mayor
posible, es decir, su máximo común divisor.
200 : 20 = 10 cajones de manzanas
máx.c.d. (200, 260) = 20 kg *
260 : 20 = 13 cajones de naranjas
Solución: Cada cajón pesará 20 kilos y llenarán 10 cajones de manzanas y 13 de
naranjas.
c) máx.c.d. (1, k) = k
e) Si a es divisible entre b, máx.c.d. (a, b) = b.
y quieres dibujar sobre ella una cuadrícula lo más
grande que sea posible en la que no haya cuadros fraccionados. ¿Cuál debe ser el tamaño de los cuadros?
a) máx.c.d. (2, 3)
c) máx.c.d. (3, 9)
e) máx.c.d. (30, 40)
10. Rosa ha sacado de la hucha un montón de mone-
b) máx.c.d. (4, 5)
d) máx.c.d. (6, 9)
f ) máx.c.d. (50, 75)
das, todas iguales, y ha comprado un lapicero de 70
céntimos. Después, ha vuelto a la tienda y ha comprado un bolígrafo de 80 céntimos. ¿Cuál puede ser
el valor de cada una de esas monedas si siempre ha
dado el precio exacto? (Busca todas las soluciones
posibles).
4. Completa en tu cuaderno y calcula.
9 0
4 5
2
1 0 0
5 0
2
11. Alberto tiene 45 fichas rojas y 36 fichas verdes, y
1
quiere apilarlas en columnas iguales, lo más altas que
sea posible, y sin mezclar colores en la misma pila.
¿Cuántas fichas pondrá en cada montón?
1
_
60 = 2 · …b máx.c.d.(60, 90) = …
90 = 2 · …` máx.c.d.(60, 100) = …
b
100 = 2 · … máx.c.d.(90, 100) = …
a
5. Calcula máx.c.d. (a, b) por el método óptimo.
c) a = 52 · 7
a) a = 3 · 7
b) a = 24 · 32
b = 5 · 72
b=5·7
b = 22 · 33
d) a = 3 · 5 · 11
e) a = 23 · 52
f ) a = 22 · 7 · 13
b = 2 · 32 · 13
b = 2 · 5 · 11
b = 22 · 52 · 7
12. El dueño de un restaurante compra un bidón de 80
litros de aceite de oliva y otro de 60 litros de aceite
de girasol, y desea envasarlos en garrafas iguales, lo
más grandes que sea posible, y sin mezclar. ¿Cuál será la capacidad de las garrafas?
6. Calcula.
b) máx.c.d. (24, 36)
d) máx.c.d. (56, 70)
f ) máx.c.d. (140, 180)
h) máx.c.d. (180, 270)
13. Un carpintero tiene dos listones de 180 cm y 240 cm,
respectivamente, y desea cortarlos en trozos iguales,
lo más largos que sea posible, y sin desperdiciar madera. ¿Cuánto debe medir cada trozo?
58
Sugerencias
• Tratamos aquí el método óptimo para calcular el máximo común divisor
mediante la descomposición de los números en factores primos. Y de la
misma forma que en el epígrafe anterior, se recomienda que la regla
surja de la práctica reiterada de ejercicios realizados con la guía del profesorado, atendiendo al criterio: seleccionar los factores primos adecuados, de forma que el número resultante sea divisor común de ambos
números y, además, el mayor posible. Así, ahora, se han de elegir solo
los factores comunes con el menor exponente.
• La experiencia nos muestra que, pasado un tiempo, ante la demanda
del máximo común divisor o del mínimo común múltiplo, los estudiantes dudan: ¿Son todos los factores, o solo los comunes? ¿Se toma el
mayor exponente, o el menor? En este caso conviene volver a los conceptos, para que ellos mismos resuelvan la duda; en caso contrario, el
algoritmo no resulta operativo.
Refuerzo y Ampliación
Recomendamos, del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág. 33.
Ampliación: Ejercicio 5 de la pág. 36.
b = 18
¿Verdadero o falso?
9. Supón que tienes una hoja de papel de 30 cm × 21 cm,
3. Calcula mentalmente.
a) máx.c.d. (20, 24)
c) máx.c.d. (54, 60)
e) máx.c.d. (120, 144)
g) máx.c.d. (168, 196)
d) a = 6
b = 12
d) El máx.c.d. de dos números primos es uno.
b) máx.c.d. (8, 20)
d) máx.c.d. (12, 24)
f ) máx.c.d. (40, 50)
1
c) a = 4
b) El máx.c.d. de dos números contiene solo los factores primos comunes a ambos números.
2 3 4 6 8 12 24
2 3 5 6 10 15 30
a) máx.c.d. (6, 8)
c) máx.c.d. (10, 15)
e) máx.c.d. (18, 24)
2
b = 10
a) El máximo común divisor de dos números es igual
al menor de ellos.
2. Calcula como en el ejercicio anterior.
6 0
3 0
b) a = 5
b=8
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
Problema resuelto
Cálculo del máx.c.d. (200, 260)
a) Div. de 12 → 1
Div. de 16 → 1
máx.c.d. (12, 16) =
b) Div. de 15 → 1
Div. de 20 → 1
máx.c.d. (15, 20) =
c) Div. de 24 → 1
Div. de 30 → 1
máx.c.d. (24, 30) =
59
La resolución de problemas puede ser un campo apropiado para el
aprendizaje cooperativo. Se sugiere:
– Resuelven los problemas individualmente o por parejas.
– En una puesta en común se hacen aflorar los intentos fallidos, los distintos caminos seguidos, las formas de resolución, las diferentes soluciones.
Soluciones de “Piensa y practica”
1 a)
4b)
5c)
6
2 a)
2b)
4c)
5d)
12
e)
6f )
10
3 a)
1b)
1c)
3d)
3e)
10
f )
25
4 máx.c.d. (60, 90) = 2 · 3 · 5 = 30
máx.c.d. (60, 100) = 22 · 5 = 20
máx.c.d. (90, 100) = 2 · 5 = 10
5 a)
7 b)
36c)
35d)
55e)
100
f )
26
6 a)4
b)12
c) 6
d)14
e)
24f )
20g)
28h)
90
7 a)
4b)
5c)
4d)
6
Si a es divisor de b, máx.c.d. (a, b) = a.
Aprendizaje cooperativo
Se sugiere la siguiente dinámica metodológica:
60
8 a) Falso
b) Verdadero
c) Falso
d) Verdadero
e) Verdadero
9 El tamaño de los cuadros será de 3 cm.
– Formar parejas según el criterio del profesorado (puede ser interesante
mezclar estudiantes con diferentes niveles de competencia).
10 Pueden ser monedas de 10 cént., de 5 cént., de 2 cént. y de 1 cént.
– Se propondrán ejercicios para calcular el máx.c.d.
11 En cada montón pondrá 9 fichas.
– En cada pareja, un alumno o alumna resolverá por el método artesanal,
y su compañero por el método óptimo.
12 Las garrafas serán de 20 litros.
– Si no coinciden los resultados, deben descubrir los errores.
13 Los listones se deben cortar en trozos de 60 cm.
Cuatro cajas de 15 bombones. Quince cajas de 4 bombones.
1
Ejercicios y problemas
Los números naturales
Busca, en cada caso, todos los valores posibles de
La relación de divisibilidad
1.
10.
Reflexiona, contesta “Sí” o “No” y justifícalo.
a para que el número resultante sea, a la vez, múltiplo de 2 y de 3:
a) ¿Se pueden guardar
300 litros de aceite en bidones
Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración.
Estos
4 a
3 2 han
a
de 15 litros sinpasado
que sobre
nada?pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.
de unos
b) Si sacas del horno 100 magdalenas, y las empaquetas por docenas, ¿queda alguna suelta?
11.
c) ¿Se puede cortar un listón de 1,80 m en un número exacto de trozos de 20 cm?
12.
3.
b) 13 y 195
c) 38 y 138
d) 15 y 75
e) 23 y 203
f ) 117 y 702
— El número es múltiplo de 11 si al restar esas dos
cantidades obtienes 0 o un Babilonios
múltiplo de 11.
ExpresaMayas
el número 899 como producto de dos
2000 a.C.
Romanos
factores distintos de él mismo y de la unidad.
100 a.C.
Egipcios
3500 a.C.
13.
b) Un múltiplo de 13 comprendido entre 190 y 200.
Busca todos los divisores de:
a) 10
b) 18
c) 20
d) 24
e) 28
f ) 30
g) 39
h) 45
i) 50
j) 80
6.
¿De cuántas formas diferentes se pueden envasar
60 bombones en cajas con el mismo número de uniÁrabes
dades en cada una sin que sobre
700ninguno?
d.C.
7.
Busca todas las formas posibles de hacer montones iguales con 72 terrones de azúcar.
Sistema decimal
que usamos
8.
14
17
28
29
47
53
57
63
71
79
91
99
Chinos
Busca el primer número, mayor que 500,
que no
3500 a.C.
se pueda expresar como el producto de dos factores
diferentes de él mismo y de la unidad.
15.
Averigua si el número 521 es primo o compuesto. Justifica tu respuesta.
16.
Para saber si el número 223 es primo, solo
se necesita aplicar los criterios de divisibilidad y dividir entre 7, 11, 13 y 17. ¿Por qué?
Mínimo común múltiplo y máximo común
denominador
Hindúes
500 a.C.
17.
Criterios de divisibilidad
Separa los números primos de los compuestos.
14.
c) Todos los pares de números cuyo producto es 80.
Escribe.
L
3
Así multiplicaban
los antiguos egipcios
Seis
cajas de 10
bombones. Diez cajas de 6 bombones.
Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo
Aprende
a resolver problemas
hacían 23 × 18.
Dos hornadas
iguales de magdalenas
se1envasan,
una,
en
6 unidades,
y72 terrones.
dos
columnas
dede números
siguiendo
las si72 montones
deEscribían
terrón.
1 bolsas
montón
de
la otra, en bolsas de 10 unidades, sin guientes
que sobrereglas:
ninguna en ambos casos. ¿Cuántas
1
18
←•
⎯→
→
magdalenas salen en cada hornada si–seEn
han
llenado algo
más de 30
bolsas?
la primera,
duplicaban
sucesivamente
1 sin
sobrepa36←•montones
terrones.
2 montones
de
36 terrones.
2 ⎯→ 36 →de 2
sar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23.
Comprueba
has entendido
4 ⎯→
72 → el–enunciado.
←• que
La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo fac24 hornadas
montones
de
3tor,terrones.
montones
de 24 terrones.
¿Cuántas
iguales
¿Cómo
empaquetan
las3magdalenas?
8
144 hay?
en
nuestro ejemplo,
18, tantas veces como habían
duplicado
1 en la primera columna.
¿Cuántas←•
bolsas
se han288
llenado?
te preguntan?
16 ⎯→
→ ¿Qué
18→montones
de–4Después,
terrones.
4 montones
de
18 terrones.
en la primera
columna tomaban los
números
23
414 ←
Piensa en el camino que vas a seguirnecesarios
para resolver
el problema.
necesitas
saber?
para que
al sumarlos¿Qué
se obtuviera
el primer
factor;
en
nuesro
caso,
para
quer
sumaran
23:
de 6—terrones.
6 montones
12 terrones.
Fíjate12
que montones
cada hornada puede
Ya veo… Entonces
estamos buscandode
un múltiplo
común de 6 y 10. Como
+ 2 += 430,
+ 16los= 23
embolsarse de 6 en 6 y de 10
mín.c.m (6,1 10)
múltiplos comunes son 30 - 60 - 90 - 120 - …
en 10.
Estos
son
posibles
números
de
unidades
de
una
hornada.
concluir, cogían,
en la segunda columna,
nú9 montones de 8– Para
terrones.
8 montones
de 9los terrones.
meros correspondientes a los sumandos de la primera
columna
sumaban.
Enmagdalenas
nuestro caso:por hornada salen (90 : 6) + (90 : 10) = 24
Muy bien. Ahora recuerda que
— Voy ya los
probar.
Con 90
se han
bolsas. Con
120
6) + (120 : 10) = 32 bolsas.
¡Algo más de 30!
18 +2 090
36 +salen
72 + (120
288 =: 414
a)llenado
561algo más de 30
b)
c) 10 647
bolsas.
Solucion:
Cada
tiene
magdalenas.
El resultado de la suma
obtenida
enhornada
la columna
de120
la derecha
era el producto buscado. En nuestro ejemplo:
A51 → 351 - 651 – 951 23 × 18 = 414
25.
Una bodega comercializa sus vinos en cajas con el
Resuelve problemas
mismo número de botellas. ¿Cuántas botellas van en
2B8 → 228 - 258 - 288
multiplcaciones
al estilo
egipcio:
cada
caja, si un comercio ha comprado 60 botellas de
20.
Los miembros 1deEfectua
un clublassocial
se pueden siguientes
agruvino tinto, 57 de blanco y 45 de rosado?
par,31C
sin que→
ninguno
suelto,
por parejas,
17
× 41
b) 41 ×por
17
312a)quede
- 315
– 318
tríos y por grupos de 7. ¿Cuántos miembros tiene el
26.
Un comerciante de ropa recibe una partida de
club, sabiendo que son más de 80 pero menos de 90?
camisas a 24 € la unidad. Un amigo suyo, con tien52D → 522 - 525 - 528
da en otro barrio, recibe una partida de pantalones
21.
Ramón tiene un montón de monedas de 10 céna 45 €. Puestos en contacto, deciden intercambiar
timos,
que →
puede
agrupar
en montones
cén1E8
108
- 138
- 168de- 80
198
parte de sus mercancías para mejorar la oferta de sus
timos y también en montones de un euro. ¿Cuánto
negocios. ¿En qué condiciones harán el intercambio?
dinero6tiene,5 sabiendo que
en total hay máslos
de antiguos
5 €
sí multiplicaban
hindúes
3
0
44a
710 €?
pero
menos
→4 de42
–– En
48cada casilla se pone el 32a
→de 324
24a → 240 - 246
resultado
multiplicar los
2
0
2
Problemas
3
dos dígitos que la determinan. Por ejemplo,
en la ca-“+”
22. 1 5Los2 trenes
a Miramar
salen cada 18 min, y los
8
2
4 ×h7 45
= 28.
27.
Un restaurante, que está reponiendo menaje, inde Arandilla,
cada
24 silla
min.sombreada,
Si son las 15
min, y
2 1
2020,
2024
vierte
300 € en la compra de vasos y otro tanto en la
1 2016,
12 ¿cuándo
– Se
suman los
resultados en vertical. En cada
columna
salen
a la vez,
volverán
a coincidir?
de
tazas.
Sabiendo que una taza cuesta un euro más
9 6
solo cabe un dígito.
que un vaso, y que ha comprado 15 vasos más que
23.
Se desea
1 2 partir una cartulina de 48 cm × 60 cm
Por
tazas, ¿cuántos vasos y cuántas tazas ha adquirido?
en
que tengan entre cinco y diez
1 tarjetas
9 7 ejemplo:
2cuadradas
2
centímetros de lado. ¿Cuál debe ser el tamaño de las
28.
Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha
tarjetas
para
no
desperdiciar
recortes
de
cartulina?
11 · 15 = 165 → 1 + 5 = 6; 6 – 6 = de0huevos,
piensa:
2 Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:
7
8
Números primos y compuestos
Escribe.
a) Los múltiplos de 20 comprendidos entre 150 y 210.
5.
2000 a.C.
Compruébalo.
Múltiplos y divisores
4.
Para saber si un número es múltiplo de 11:
— Suma las cifras que ocupan lugar impar.
Razona si existe relación de divisibilidad entre:
a) 20 y 300
Un año es bisiesto si es múltiplo de cuatro,
pero no de 100. ¿Cuáles son los tres próximos bisiestos?
— Suma las cifras que ocupan lugar par.
d) ¿Hacen 100 minutos un número exacto de cuartos
de hora?
2.
2 4 a
UNIDAD
Cinco cajas de 12 bombones. Doce cajas de 5 bombones.
Obtén mentalmente tres múltiplos comunes de:
a) 4 y 5
b) 10 y 12
c) 15 y 25
d) 20 y 40
e) 100 y 150
f ) 20, 25 y 30
a) Un número de tres cifras que sea divisible por 3.
os sistemas de numeración sirven para escribir números
18.
El mínimo común múltiplo de dos números es
y transmitirlos. Pero deben servir, tamb) Un número de cuatro cifras que sea divisible por 5. y, así, recordarlos
15. ¿Cuáles pueden ser esos números?
bién, para operar con ellos. Piensa en el sistema romano (que
c) Un número de cinco cifras que sea divisible porya
9. conoces) y en cómo se las apañarían para efectuar sumas.
19.
Calcula.
Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. ¿Complicado? Pues
9.
Sustituye cada letra por una cifra, para que el núa) mín.c.m.
(2, 4,que
8) ser multiplicar.
b) máx.c.d. (2, 4, 8)
imagina lo difícil
que tendría
mero resultante sea divisible entre 3.
c) mín.c.m. (10, 15, 20)
d) máx.c.d. (10, 15, 20)
A51 2B8 31C 52D 1E8
e) mín.c.m. (20, 30, 40)
f ) máx.c.d. (20, 30, 40)
9
A
10
11
12
24.
En una escuela
de baloncesto
20453
a) 208
× 34→ 1 había
b)
11
121
+ 1Debido
=equipos,
2;×a262un – 2 = —0 Si los envaso por docenas, me sobran 5.
todos
con· 11
igual =
número
de jugadores.
— Si tuviera uno más, podría envasarlos exactamente
estas formascuatro
de multiplicar
con la nuestra, ¿cuál
3 Comparando
recorte de presupuesto,
se han suprimido
equien cajas de 10.
te parece
más cómoda
y efectiva?
Justifica tu respuesta.
pos, distribuyendo
sus miembros
entre
los demás.
29, 47,
71, 79 — Casi he cogido 100.
Así,Primos
cada equipo→
ha 17,
aumentado
en dos53,
elementos.
¿Cuántos huevos tiene?
¿Cuántos jugadores hay en la escuela de baloncesto?
13
Compuestos → 14, 28, 57, 63, 91, 99
61
60
14 503 es el número buscado.
15 521 es primo, porque todas sus divisiones entre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
y 23 tienen resto distinto de cero y, además, 521 : 23 ≈ 22,65.
Interdisciplinaridad
Al realizar la actividad 11, se sugiere pedir a los estudiantes que se informen de la razón de ser de los años bisiestos, y que evalúen lo que ocurriría si no se incluyeran en el calendario.
16 Porque el cociente de 223 : 17 es un número menor que 17, y si hubiese divisores menores que 17 se habrían hallado antes de probar con
este número.
17 a)20, 40, 60
Soluciones de “Ejercicios y problemas”
d)40, 80, 120
b)120, 240, 360
c) 75, 150, 300
e)300, 600, 900
f ) 300, 600, 900
c) 60
e)120
18 3 y 5, o bien, 1 y 15.
1 a)Sí, porque 300 : 15 = 20.
b)Sí, quedan 4 sueltas (100 = 12 · 8 + 4).
19 a)8
b)2
d)5
f ) 10
c) Sí, se puede cortar en 9 trozos de 20 cm (180 : 20 = 9).
d)No (100 = 15 · 6 + 10).
2 a)300 : 20 = 15 → exacta → Sí.
ANOTACIONES
b)195 : 13 = 15 → exacta → Sí.
c) 138 : 38 → inexacta → No.
d)75 : 15 = 5 → exacta → Sí.
e) 203 : 23 → inexacta → No.
f ) 702 : 117 = 6 → exacta → Sí.
3 899 = 31 · 29
4 a)160, 180, 200
b)195 = 13 · 15
c) 1 y 80, 2 y 40, 4 y 20, 5 y 16, 8 y 10
5 a)1, 2, 5, 10
b)1, 2, 3, 6, 9, 18
c) 1, 2, 4, 5, 10, 20
d)1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
e)1, 2, 4, 7, 14, 28
f ) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
g)1, 3, 13, 39
h)1, 3, 5, 9, 15, 45
i ) 1, 2, 5, 10, 25, 50
j ) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
6 Una caja de 60 bombones. Sesenta cajas de 1 bombón.
Dos cajas de 30 bombones. Treinta cajas de 2 bombones.
Tres cajas de 20 bombones. Veinte cajas de 3 bombones.
61
26 Habría que intercambiar lotes de 15 camisas por lotes de 8 pantalo-
1
UNIDAD
Asíhan
multiplicaban los antiguos egipcios
27 Se
adquirido 75 vasos y 60 tazas.
Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo
Los
números naturales
Aprende a resolver
problemas
e
-
nes.
3
hacían 23 × 18.
dos columnas de números siguiendo las si28 El granjero tieneEscribían
89 huevos.
Dos hornadas iguales de magdalenas se envasan, una, en bolsas de 6 unidades, y
la otra, en bolsas de 10 unidades, sin que sobre ninguna en ambos casos. ¿Cuántas
las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han
magdalenas salen enTodas
cada hornada
si se han llenado algo más de 30 bolsas?
←• 1 ⎯→
←• 2 ⎯→
←• 4 ⎯→
pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.
,
?
Comprueba que has entendido el enunciado.
←• 16 ⎯→ 288 →
→ 23
Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?
Fíjate que cada hornada puede
embolsarse de 6 en 6 y de 10
en 10.
— Ya veo… Entonces estamos buscando un múltiplo común de 6 y 10. Como
mín.c.m (6, 10) = 30, los múltiplos comunes son 30 - 60 - 90 - 120 - …
Babilonios
Estos son posibles números de unidades de una hornada.
2000 a.C.
Muy bien. Ahora recuerda que
Mayas
se han llenado
algo más de 30
2000 a.C.
bolsas.
— Voy a probar. Con 90 magdalenas por hornada salen (90 : 6) + (90 : 10) = 24
Egipcios
bolsas.
Con 120 salen3500
(120
a.C. : 6) + (120 : 10) = 32 bolsas. ¡Algo más de 30!
Romanos
100 a.C.
Solucion:
Cada hornada tiene 120 magdalenas.
25.
Resuelve problemas
20.
o
s
-
21.
o
-
Los miembros de un club social se pueden agrupar, sin que ninguno quede suelto, por parejas, por
tríos y por grupos de 7. ¿Cuántos miembros tiene el
club, sabiendo que son más de 80 pero menos de 90?
Ramón tiene un montón de monedas de 10 céntimos, que puede agrupar en montones de 80 céntimos y también en montones de un euro. ¿Cuánto
dinero tiene, sabiendo que en total hay más de 5 €
pero menos de 10 €?
Árabes
700 d.C.
26.
Un comerciante de ropa recibe una partida de
camisas a 24 € la unidad. Un amigo suyo, con tienda en otro barrio, recibe una partida de pantalones
a 45 €. Puestos en contacto, deciden intercambiar
parte de sus mercancías para mejorar la oferta de sus
negocios. ¿En qué condiciones harán el intercambio?
Los trenes a Miramar salen cada 18 min, y los
de Arandilla, cada 24 min. Si son las 15 h 45 min, y
decimal
salen aSistema
la vez, ¿cuándo
volverán a coincidir?
23.
Se desea partir una cartulina de 48 cm × 60 cm
en tarjetas cuadradas que tengan entre cinco y diez
centímetros de lado. ¿Cuál debe ser el tamaño de las
28.
Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha
tarjetas para no desperdiciar recortes de cartulina?
os sistemas de numeración sirven para escribir números
de huevos,ypiensa:
y, así, recordarlos
transmitirlos. Pero deben servir, tam-
24.
bién, para operar
ellos. Piensa
en el sistema
romano
— Si con
los envaso
por docenas,
me sobran
5. (que
En una escuela de baloncesto había 20 equipos,
cómo se las apañarían para efectuar sumas.
todos con igual número de jugadores. Debido a ya
unconoces) y en
Si tuviera uno
más, podría ¿Complicado?
envasarlos exactamente
Por ejemplo,—MCCCXLVI
+ DCCCXXXIV.
Pues
recorte de presupuesto, se han suprimido cuatro equienque
cajas
de 10.que ser multiplicar.
imagina lo difícil
tendría
pos, distribuyendo sus miembros entre los demás.
—
Casi
he
cogido
100.
Así, cada equipo ha aumentado en dos elementos.
¿Cuántos huevos tiene?
¿Cuántos jugadores hay en la escuela de baloncesto?
s
que usamos
Hindúes
500 a.C.
Un restaurante, que está reponiendo menaje, invierte 300 € en la compra de vasos y otro tanto en la
de tazas. Sabiendo que una taza cuesta un euro más
que un vaso, y que ha comprado 15 vasos más que
tazas, ¿cuántos vasos y cuántas tazas ha adquirido?
L
61
Aprende a resolver problemas
En este apartado, mediante el seguimiento de un ejemplo, se pretende
ofrecer a los estudiantes modelos, estrategias y pautas para resolver problemas. A saber:
– Detenerse en la comprensión del enunciado. Aclarar lo que se sabe y lo
que se desea averiguar. No empezar hasta haber interiorizado el enunciado.
– Reflexionar sobre el proceso. Decidir los datos y los pasos intermedios
necesarios para llegar a la solución.
– Conviene que los alumnos y alumnas comprueben que la búsqueda de
la solución es un proceso abierto, en el que se utilizan diversos recursos.
Así, en este caso, tras una primera parte en la que se utilizan los conceptos y herramientas que proporciona la divisibilidad, el problema termina
recurriendo al tanteo para ajustar lo descubierto a las condiciones del
enunciado.
– Describir el proceso. Explicar el significado de cada operación y del dato que se obtiene con ella.
– Presentar la solución.
Soluciones de “Ejercicios y problemas”
20 El club tiene 84 miembros.
21 Ramón tiene 800 céntimos = 8 euros.
22 Después de las 15:45, volverán a coincidir a las 16:57.
23 Las tarjetas deben ser de 6 cm de lado.
24 En la escuela hay 160 jugadores.
25 En cada caja van 3 botellas.
62
guientes reglas:
– En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepasar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23.
– La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo factor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían
duplicado 1 en la primera columna.
– Después, en la primera columna tomaban los números
necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer
factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23:
1 + 2 + 4 + 16 = 23
– Para concluir, cogían, en la segunda columna, los números correspondientes a los sumandos de la primera
columna y los sumaban. En nuestro caso:
18 + 36 + 72 + 288 = 414
El resultado de la suma obtenida en la columna de la derecha era el producto buscado. En nuestro ejemplo:
23 × 18 = 414
1
Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio:
a) 17 × 41
6
5
3 0 7
3 2 0 4 2
1 5 2 8
2
2 1
4
22.
27.
414 ←
Una bodega comercializa sus vinos en cajas con el
mismo número de botellas. ¿Cuántas botellas van en
Chinos
cada caja, si un comercio ha comprado 60 botellas
de
3500 a.C.
vino tinto, 57 de blanco y 45 de rosado?
Problemas “+”
72 →
8
144
ANOTACIONES
¿Cuántas hornadas iguales hay? ¿Cómo empaquetan las magdalenas?
¿Cuántas bolsas se han llenado? ¿Qué te preguntan?
s
18 →
36 →
1
12
9 6
1 2
1 9 7 2 2
2
Así multiplicaban los antiguos hindúes
– En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los
dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la casilla sombreada, 4 × 7 = 28.
– Se suman los resultados en vertical. En cada columna
solo cabe un dígito.
Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones:
a) 208 × 34
3
b) 41 × 17
b) 453 × 26
Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál
te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta.
Taller de matemáticas
UNIDAD
emprender
aprender
Reflexiona y sé organizado
3
Entrénate resolviendo problemas
¡Echa cuentas!
• En un colegio hay dos clases, A y B, de primero de ESO. Si en el grupo A se
Divisibilidad y geometría
hacen equipos de 5 para jugar a baloncesto, sobran 3 personas. Si se hace lo
mismo en el grupo B, sobran 4.
Ya has visto en otras ocasiones cómo las características y propiedades de los números se
reflejan en relaciones y propiedades geométricas. Observa ahora cómo la descomposición
factorial de un número, por ejemplo 24, está ligada a las posibilidades de construir prismas
con un conjunto de 24 dados (cubos unitarios):
¿Cuántos sobrarán si se hacen los equipos después de juntar ambos grupos?
• Un galgo persigue a una liebre. La liebre da saltos de 3 m y el galgo da saltos de 4 m. Si
en un momento determinado las huellas del galgo coinciden con las de la liebre, ¿cuántas
veces vuelve a ocurrir lo mismo en los siguientes 200 m?
1 × 24
2×2×6
2 × 12
24 = 2 · 2 · 2 · 3
2×2×2
3×8
2×3×4
Autoevaluación
4×6
2×2×2×3
1. Busca, entre los siguientes, cuatro pares de números
• ¿Cuántos prismas diferentes se pueden construir con 12 dados unitarios?
7. Averigua si los números siguientes son primos o
emparentados por la relación de divisibilidad:
6
15
35
80
compuestos:
90 240
a) 101
2. ¿Verdadero o falso?
• Más difícil: ¿Y con un conjunto de 60 dados?
a) 36
b) 7 múltiplo de 21.
Ensaya y deduce
Los primos valen dinero
El 101 es el protagonista
Los números primos se utilizan para la construcción
de las claves que protegen las cuentas bancarias, los
ordenadores, los teléfonos móviles, la información
que circula por internet, etc.
d) 162 múltiplo de 8.
3. Escribe.
29 × 101 = ?
De hecho, para elaborar una clave, se necesitan dos
números primos secretos.
Ensaya otros casos y verifica que siempre ocurre
lo mismo.
Por eso, el que descubre un par de números primos
nuevos, descubre un tesoro codiciado por empresas informáticas y de comunicaciones, dispuestas a
comprarlos a precios elevados.
• ¿Qué tienen en común todos los números de cua-
tro cifras que se forman repitiendo alternativamente dos cifras?
Lo malo es que los fáciles ya se han descubierto y los
nuevos son muy difíciles de encontrar.
• Busca el primer número primo mayor que 1 000.
4
5 4 5
8 7 8 7
1 3 1 3
4 3 4 3
b) 48
c) 396
a) mín.c.m. (36, 48)
b) máx.c.d. (36, 48)
c) mín.c.m. (10, 15, 25)
d) máx.c.d. (10, 15, 25)
10. ¿De cuántas formas distintas se puede dividir una
a) Los múltiplos de 12 comprendidos entre 50 y 100.
multiplicamos por 101?
c) 247
9. Calcula.
c) 12 es divisor de 120.
• ¿Qué le ocurre a un número de dos cifras si lo
b) 147
8. Descompón en factores primos.
a) 60 es divisible entre 15.
Infórmate e investiga
Resoluciones de estos ejercicios.
En la web
clase de 28 alumnos, en equipos con el mismo número de miembros, sin que sobre ninguno?
b) Todos los divisores de 90.
4. Encuentra los números pedidos.
11. ¿Cuál es el lado del menor cuadrado que se puede
formar uniendo baldosas rectangulares de 15 cm de
largo por 6 cm de ancho?
a) El primer múltiplo de 13, después de 1 000.
b) El último múltiplo de 11, antes de 1 000.
12. Un grupo de 48 niños, acompañados de 36 padres,
5. Completa en tu cuaderno.
acuden a un campamento de montaña. Para dormir, acuerdan ocupar cada cabaña con el mismo
número de personas. Además, cuantas menos cabañas ocupen, menos pagan. Por otro lado, ni los
padres quieren dormir con niños, ni los niños con
padres. ¿Cuántos entrarán en cada cabaña? ¿Cuántas cabañas ocuparán?
a) Un número es múltiplo de 3 cuando…
b) Un número es divisible entre 5 cuando…
c) Un número es múltiplo de 9 cuando…
6. Escribe, ordenados, todos los números primos meno-
res que 50.
62
63
Divisibilidad y geometría
Se incluyen problemas o retos que, aunque relacionados con la divisibilidad, exigen la utilización de otros recursos, y cuyo objetivo es practicar
estrategias de elaboración personal y enfrentarse a situaciones de lógica.
Soluciones
Soluciones
• 12 = 1 · 1 · 12 = 1 · 2 · 6 = 1 · 3 · 4 = 2 · 2 · 3
• Juntando ambos grupos se hace un equipo más y sobran 2.
• 60 = 1 · 1 · 60 = 1 · 3 · 20 = 1 · 4 · 15 = 1 · 5 · 12 = 1 · 6 · 10 = 6 · 2 · 5 =
= 4 · 3 · 5 = 2 · 6 · 5 = 2 · 3 · 10 = …
• Las huellas del galgo y de la liebre coincidirán 16 veces.
Reflexiona y sé organizado
Puede derivarse la investigación hacia prismas de base no rectangular, del
tipo de la solución 2 · 2 · 2 · 3 (de colores) que aparece en el texto.
Infórmate e investiga
Soluciones de la autoevaluación
1 60 y 90, 15 y 90, 80 y 240, 6 y 240
2 a)Verdadero
b) Falso
c) Verdadero
d) Falso
Los primos valen dinero
3 a)60, 72, 84, 96
b)1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
Se puede sugerir el ir comprobando, por orden, si 1 001, 1 002, 1 003, etc.,
se pueden descomponer en factores.
4 a)1 001
b) 990
Soluciones: • El primer número primo mayor que 1 000 es 1 009.
5 a)… la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
b)… acaba en 0 o en 5.
Ensaya y deduce
El 101 es el protagonista
Estos ejercicios contribuyen a desarrollar el interés por la búsqueda de regularidades y propiedades numéricas.
c) … la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
6 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
7 a)101 es primo.
b)147 es compuesto.
c) 247 es compuesto.
Soluciones
8 a)36 = 22 · 32
b)48 = 24 · 3
c) 396 = 22 · 32 · 11
• Al multiplicar un número de dos cifras por 101, se obtiene el mismo resultado que si se escribe el número dos veces seguidas.
9 a)144
• Todos los números de cuatro cifras que se forman repitiendo alternativamente dos cifras son múltiplos de 101.
Entrénate resolviendo problemas
¡Echa cuentas!
10
b)12
n.º de equipos
miembros por equipo
c) 150
d)5
1
2
4
7
14
28
28
14
7
4
2
1
11 El lado del menor cuadrado que se puede formar mide 30 cm.
12 En cada cabaña entrarán 12 personas. Ocuparán 7 cabañas.
63