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1
Geometría Triángulos Semejantes y Trigonometría
2016­12­02
www.njctl.org
2
Tabla de Contenidos
click sobre el tema para
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• Resolución de Problemas con Triángulos Similares
• Triángulos Semejantes y Trigonometría
• Razones Trigonométricas
• Razones Trigonométricas Inversas
• Revisión del Teorema Pitagórico
• Conversión del Teorema Pitagórico
• Resolución de Problemas con Triángulos Similares
• Preguntas de Muestra PARCC 3
MP1: Interpretar problemas y perseverar en resolverlos.
MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.
MP3: Construcción de argumentos viables y crítica del razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.
MP5: Uso estratégico de las herramientas apropiadas.
MP6: Ser preciso.
MP7: Búsqueda y uso de la estructura.
MP8: Búsqueda y expresión de la regularidad en razonamientos repetidos. Práctica de matemática
A lo largo de esta unidad, se usaron los Estándares de Práctica de Matemática.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados. Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
4
Resolución de Problemas con Triángulos Semejantes y Triángulos Rectángulos
Tres enfoques básicos para la resolución de problemas de la vida cotidiana incluyen:
• Triángulos Semejantes
• Trigonometría
• Teorema Pitagórico
5
Resolución de Problemas con Triángulos Semejantes
Volver a la Tabla de Contenidos
6
Uno de los problemas matemáticos más antiguos fue resuleto usando triángulos rectángulos semejantes .
Práctica de matemática
Sombras y Triángulos Semejantes
Hace alrededor de 2600 años, Thales of Miletus, quizá el primer matemático griego, estuvo visitando Egipto y se preguntó cual era la altura de la Gran Pirámide de Gaza
Debido a la forma de la pirámide, no podía medir directamente su altura . 7
Sombras y Triángulos Semejantes
http://www.metrolic.com/travel­guides­the­great­pyramid­of­giza­147358/
Cuando Thales visitó la Gran Pirámide de Gaza, hace 2600 años, tenía cerca de 2000 años de antigüedad. El quería saber su altura.
8
Sombras y Triángulos Semejantes
El observó que la gran pirámide proyectaba una sombra que podía ser medida sobre el piso usando una regla. Y se dio cuenta de que la regla ubicada verticalmente también proyectaba una sombra. .
En base a aquellas dos observaciones, ¿puedes pensar en una manera que el pudo medir la altura de la pirámide? Discute en tu mesa por un minuto o dos. 9
Sombras y Triángulos Semejantes
¿Que 2 factores pueden recordar sobre triángulos semejantes. Completa en los espacios vacíos de abajo. Sus ángulos son todos congruentes.
click
Sus lados correspondientes están en proporción entre sí.
click
10
Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes
Dibuja un esquema de una pirámide que está siendo medida y su sombra...y la varilla para medir y su sombra. Representa la pirámide y la varilla como rectas verticales, la varilla mucho más corta que la pirámide. No podrás dibujarlas a escala, ya que la varilla es muy pequeña comparada a la pirámide, pero esto no afectará nuestro razonamiento. 11
Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes
12
Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes
13
Triángulos Rectángulos Semejantes
Sacando los objetos y sólo dejando los triángulos formados por la altura del objeto, la luz del sol y la sombra sobre el piso, podemos ver que hay triángulos semejantes. Todos los ángulos son iguales, de modo que los lados deben estar en proporción. y
x
y
x
14
Triángulos Rectángulos Semejantes
Colocando un triángulo encima de otro, es fácil de ver que son semejantes. Usando las 2 ideas que se nos ocurrieron antes sabemos que los ángulos son los mismos y los lados están en proporción. 15
Triángulos Rectángulos Semejantes
Lo cual significa que la longitud de cada sombra está en proporción a la altura de cada objeto. ray
os altura de la pirámide
de
luz
so
lar
sombra de la pirámide
ray
altura de la varilla
os de
luz
so
l
ar
sombra de la varilla
16
Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes
Si la sombra de la varilla era de 2 metros de largo
Y la sombra de la pirámide era de 120 metros de largo
Y la altura de la varilla era de 1 metro.
¿Qué altura tiene la pirámide?
ray
altura de la pirámide
os de
luz
so
lar
sombra de la pirámide
ray
os d
altura de la varilla
e lu
z s
o
lar
sombra de la varilla
17
Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes
altura pirámide altura varilla
sombra pirámide = sombra varilla
altura varilla
altura pirámide =
x sombra pirámide
sombra varilla
1 m
h =
(120 m)
2 m
h = 60 m
h
1 m
120 m
2 m
18
Esta idea puede usarse para medir la altura de un montón de objetos que proyectan una sombra. y, un conveniente recurso de medición es entonces, tu altura y la longitud de la sombra que proyectas. Práctica de matemática
Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes
Intenta hacer esto en el próximo día soleado cuando puedas salir afuera. Se puede medir la altura de cualquier objeto que está proyectando una sombra por medio de comparar la longitud de su sombra con la longitud de sí mismo. Laboratorio de Medición Indirecta
Recuerda­ a partir de un espejo también se puede tomar una medición indirecta si estás haciendo este laboratorio en un día nublado.
19
A 6 pies
B 2.7 pies
C 13.5 pies
Respuesta
1 Un poste de luz proyecta una sombra de 9 pies al mismo tiempo que una persona de 6 pies de altura proyecta una sombra de 4 pies. Calcula la altura del poste de luz. D 15 pies
20
¿Qué altura tiene el edificio? Respuesta
2 Tienes una altura de 6 pies y observas que tu sombra a una hora es de 3 pies de longitud. La sombra de un edificio próximo en ese mismo momento tiene 20 pies de longitud. 21
¿Qué altura tiene el árbol?
Respuesta
3 Tienes 1.5 m de altura y observas que tu sombra a una hora tiene 4.8 m de longitud. La sombra de un árbol cercano en ese mismo momento es de 35 m de longitud. 22
¿Qué longitud tendrá la sombra del edificio de 8 m de alto en ese mismo momento? Respuesta
4 Dos edificios están lado a lado. El de 35 m de alto proyecta una sombra de 21 m.
23
Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes
24
Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes
También podemos construir un dispositivo para establecer triángulos semejantes a fin de hacer mediciones.
3 pulgadas
Toma una tarjeta de 3" x 5" y cortála como se muestra abajo:
4 cm
2 cm
0.5 cm
5 pulgadas
25
Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes
3 pulgadas
Ahora desliza una regla a través de la hendija en la parte inferior de la tarjeta. De esa manera, puedes mover la tarjeta a una distancia específica desde un extremo de la regla. 4 cm
2 cm
0.5 cm
5 pulgadas
26
Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes
Mirando a lo largo de la regla, puedes mover luego la tarjeta de modo que un objeto distante entre a los 0.5 cm, 2 cm o 4 cm de la ranura.
Puedes medir entonces la distancia que hay entre la tarjeta y tu ojo a lo largo de la regla. Esto forma un triángulo semejante que te permite calcular cuán alejado está un objeto de tamaño conocido, o el tamaño de un objeto situado a una distancia conocida. 27
Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes
Esto muestra como por medio de alinear un objeto distante para que entre en una ranura de un dispositivo se forman dos triángulos, el triángulo rojo pequeño y el triángulo más grande en azul.
Todos los ánguos son iguales y los lados están en proporción. También, la base y la altura de cada triángulo isósceles estarán en proporción. 28
Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes
La altitud y la base de un pequeño triángulo isósceles pueden ser medidas directamente, lo cual significa que la razón de esas dos medidas en el triángulo más grande resulta conocida. Dados el tamaño o la distancia al objeto, se puede determinar la otra. 29
Imagina que estás visitando París y tienes tu instrumento para medir triángulos similares. Sabes que la Torre Eiffel tiene una altura de 324 metros.
Ajustas tu instrumento de modo que la altura lateral de la Torre complete la ranura de 2 cm cuando la tarjeta está a 20 cm de tu ojo. Práctica de matemática
Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes
¿A qué distancia estás de la torre?
30
Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes
distancia a la torre distancia a la tarjeta
altura de la torre = ancho de la ranura
distancia a la tarjeta x altura de la torre
distancia a la torre =
ancho ranura
20 cm
d =
(324 m)
2 cm
d = 3240 m
d
20 cm
2 cm
2 m
324 m
31
Respuesta
5 Mueves a la otra ubicación y la Torre Eiffel (324 m de altura) ahora completa los 4 cm de ranura cuando la tarjeta está a 48 cm de tu ojo. ¿A qué distancia estás de la torre ahora? 32
Respuesta
6 El edificio más alto del mundo, el Burj Kalifah in Dubai, tiene una altura de 830 m. Colocas tu dispositivo de modo tal que complete los 4 cm de ranura cuando está a 29.4 cm de tu ojo. ¿A qué distancia estás del edificio? 33
Respuesta
7 El ancho de un tanque de almacenamiento cabe en 2 cm de ranura cuando la tarjeta está a 48 cm de tu ojo. Sabes que el tanque está a 680 m de distancia. ¿Cuál es su ancho? 34
¿Cuál es la distancia a la Luna?
Respuesta
8 La Luna tiene un diámetro de 3480 km. La mides una noche para que complete la ranura de 0.5 cm cuando la tarjeta está a 54 cm de tu ojo. 35
Triángulos Semejantes y Trigonometría
sinθ
1
θ
cosθ
Volver a la Tabla de Contenidos
36
Resolución de Problemas
Recuerda que Tales calculó la altura de la pirámide usando triángulos semejantes formados por la sombra de la pirámide y una varilla de longitud conocida.
37
Resolución de Problemas
Pero qué pasaba si él estuviera intentanto resolver este problema y no había una sombra para usar. O si estás intentando resolver otros tipos de problemas que no te permiten establecer fácilmente triángulos semejantes. La Trigonometría provee los triángulos semejantes necesarios para cualquier circunstancia, y esto es porque es una herramienta poderosa. 38
Resolución de Problemas con Trigonometría
De modo que si Tales usó trigonometría para resolver su problema, el habría considerado este triángulo rectángulo. Primero, el había medido a Tita, el ángulo entre el piso y la parte superior de la pirámide, cuando una cierta distancia lo separa del suelo. Luego él había imaginado un triángulo semejante con el mismo ángulo.
altura
θ
distancia
39
Resolución de Problemas con Trigonometría
El tenía un triángulo rectángulo ya listo, gracias a los matemáticos que calcularon todos los posibles triángulos rectángulos que podrían formarse con una hipotenusa de 1 y colocando sus medidas en una tabla, una tabla trigonométrica. El lado opuesto del ángulo se llama seno de θ, o senoθ para abreviar y el lado adyacente al ángulo se llama coseno de θ, ó cosθ en la forma abreviada. altura
senθ
θ
distancia
1
θ
cosθ
40
Resolución de Problemas con Trigonometría
Sabemos que todos los ángulos son iguales ya que ambos triángulos tienen un ángulo recto y el ángulo tita, de manera que aquellos dos ángulos son iguales. Y, ya que todos los ángulos del un triángulo suman 180, los tres ángulos deben ser iguales. Ya que todos los ángulos son iguales, esos triángulos son semejantes. altura
senθ
θ
distancia
1
θ
cosθ
41
Ya que todos los ángulos son iguales, los lados están en proporción, de modo que, ¿a qué sería igual la razón del triángulo al triángulo rectángulo? Práctica de matemática
Resolución de Problemas con Trigonometría
altura
senθ
=
distancia cosθ
altura
senθ
θ
distancia
1
θ
cosθ
42
Resolución de Problemas con Trigonometría
Cuando resolvimos anteriormente el problema, usamos la altura de la varilla de 1 m y la longitud de su sombra de 2m. Eso signigicaría que el ángulo entre los rayos de sol y el piso hubiera sido de 26.6º.
Y la longitud de la sombra de la pirámide era de 120 m.
Vamos a usar el ángulo y la distancia para ver si obtenemos la misma respuesta.
altura
senθ
26.6º
120 m
1
26.6º
cosθ
43
Resolución de Problemas con Trigonometría
Si la distancia era 120 m, y el ángulo 26.6º, se puede calcular la altura resolviéndola y luego usando la calculadora para buscar los valores para el seno y el coseno. altura
senθ
=
distancia
cosθ
altura
sen(26.6º)
= cos(26.6º)
120 m
sen(26.6º)
altura
= cos(26.6º) (120 m)
=
(0.448) (120 m)
= 60 m
(0.894)
altura
senθ
26.6º
120 m
1
26.6º
cosθ
44
Tangente θ
Anteriormente, en el último problema
calculamos que altura
senθ
=
distancia
cosθ
La razón del seno al coseno se usa muy frecuentemente, y tiene su propio nombre: Tangente θ, ó tanθ para abreviar. La tangente de θ se define como seno de θ dividida por el coseno de θ.
tanθ =
senθ
cosθ
45
Usando la Calculadora en Trigonometría
El último paso de este problema fue calcular los valores del seno y coseno del ángulo de 26.6º.
Cuando trabajamos con trigonometría, necesitamos calcular los valores de seno, coseno y otras funciones trigonométricas cuando tenemos un ángulo dado. Eso solía involucrar el uso de tablas, pero ahora es mucho más simple usar una calculadora científica básica. 46
Usando la Calculadora en Trigonometría
Las calculadoras científicas básicas están disponibles en computadoras, tablets y smartphones. También pueden ser un dispositivo separado, similar a las calculadora mostrada aquí. Esta calculadora puede hacer todo lo que necesitas para este curso. 47
Usando la Calculadora en Trigonometría
Las funciones trigonométricas que vamos a usar ahora mismo son seno, coseno y tangente. Están marcadas en el recuadro en la figura.
En la mayoría de las calculadoras, hay botones que dicen
SEN
COS
TAN
48
Usando la Calculadora en Trigonometría
Esta tecla se usa para calcular el seno de un ángulo .
49
Usando la Calculadora en Trigonometría
Esta se usa para calcular el coseno de un ángulo.
50
Usando la Calculadora en Trigonometría
Esta se usa para calcular la tangente de un ángulo. 51
Resolución de Problemas con Trigonometría
1
senθ
θ
cosθ
52
Clinómetro
En la práctica, tenemos que medir ángulos de elevación o depresión a fin de resolver problemas. Existen maneras muy precisas de hacer lo que suelen usar peritos, navegadores y otros. Pero se puedes hacer un dispositivo simple, llamado clinómetro, para hacer lo mismo y luego resolver problemas por tí mismo. 180
170
0
180
10
170
0
10
160
20
20
160
150
30
150
180°
40
140
130
50
140
40
120
60
130
30
70
80
120
90
100
50
110
60
70
110
100
90
80
53
Clinómetro
Sólo pega un transportador a una regla y cuelga un pequeño peso en el agujero del transportador. Configúralo de modo que cuando la regla esté horizontal la cuerda vaya derecha hacia abajo. 180
170
0
180
10
170
0
10
160
20
20
160
150
30
150
180°
40
140
130
50
140
40
120
60
130
30
70
80
120
90
100
50
110
60
70
110
100
90
80
54
Clinómetro
Entonces, si miras a lo largo de la regla, puedes sostener la cuerda donde toca con el transportador y leer el ángulo. Tendrás que restar 90 grados para obtener el ángulo de horizonte o ángulo de elevación. 180
0
170
10
160
20
150
30
180
0
40
170
140
50
130
160
180°
60
150
70
120
140
80
90
110
100
110
120
100
90
10
20
30
130
40
50
80
70
60
55
Estás parado sobre el suelo y miras a lo largo de tu inclinómetro para ver la parte de arriba de un edificio para estar en un ángulo de de 30º. Luego mide la distancia a la base del edificio que es 30 m. Calcula la altura de un edificio recordando sumar la altura de tus ojos. 180
0
170
10
160
20
150
Respuesta
Clinómetro
30
180
0
40
170
140
50
60
150
70
120
140
80
90
110
100
110
120
100
90
10
160
180°
130
20
30
130
40
50
80
70
60
56
Estas parado a una distancia de 200 m desde la base de un edificio. Práctica de matemática
Ejemplo
Mides la parte de arriba de un edificio para estar en un ángulo de elevación (el ángulo entre el piso y una recta dibujada hasta la parte superior) de 60º. altura
¿Cuál es la altura del edificio?
60º
200 m
57
Ejemplo
Haz un bosquejo rápido mostrando el triángulo rectángulo original y uno mostrando las funciones trigonométricas apropiadas. altura
1
sin(60º)
60º
200 m
60º
cos(60º)
58
Luego escribe las razones, sustituye los valores y resuelve. Respuesta
Ejemplo
altura
sen(60º)
60º
200 m
1
60º
cos(60º)
59
Respuesta
9 Estás parado a 30 m de distancia de la base de un edificio. La parte superior del edificio está en un ángulo de elevación (el ángulo entre el piso y la hipotenusa) de 50º. ¿Cuál es la altura del edificio?
altura
50º
30 m
60
Respuesta
10 Estás parado a 50 m de distancia de la base de un edificio. El edificio forma un ángulo de elevación con el piso de 80º. ¿Cuál es la altura del edificio?
61
Respuesta
11 Usa la función tanθ de tu calculadora para determinar la altura de un mástil de bandera si está a 30 m de distancia y su ángulo de elevación con el piso mide 70º.
62
Respuesta
12 Use la función tanθ de tu calculadora para determinar la altura de un edificio si su base está a 50 m de distancia y su ángulo de elevación con el piso mide 20º.
63
Respuesta
13 Estás en la parte superior de un edificio y miras hacia abajo para ver a alguien parado sobre el piso. El ángulo de depresión (el ángulo debajo de la horizontal de un objeto) es 30º y la persona está a 90 m de la base del edificio. ¿Qué altura tiene el edificio? (No tengas en cuenta tu altura y la de la otra persona) ¡Asegúrate de hacer un bosquejo!
64
Respuesta
14 Determina la distancia a la que un objeto está desde la base de un edificio de 45 m de alto si el ángulo de depresión es 40º.
65
Relaciones Trigonométricas
Cuando resolvemos problemas con trigonometría calculamos un ángulo rectángulo similar al que está abajo. Luego, calculas la solución estableciendo las relaciones de proporción. Pero ya que la hipotenusa es 1, frecuentemente se olvida que esas son relaciones. senθ
1
θ
cosθ
66
Relaciones Trigonométricas
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67
Relaciones Trigonométricas
Completa con las relaciones trigonométricas fundamentales de abajo:
Seno llamado "sen" para abreviar
click
Coseno llamado "cos" para abreviar
click
Tangente llamado "tan" para abreviar
click
68
Relaciones Trigonométricas
El nombre del ángulo generalmente sigue la función trigonométrica. Si el ángulo se llama θ (tita) los nombres de las funciones son:
• senθ • cosθ • tanθ Si el ángulo se llama α (alfa) las funciones son
• senα • cosα • tanα
69
Relaciones Trigonométricas
Si tienes los lados, las relaciones trigonométricas le permiten calcular los ángulos. Pero si tienes un lado y un ángulo, las relaciones trigonométricas también le permiten calcular los otros lados. 70
Relaciones Trigonométricas
hip
ot
lado opuesto
en
Esas relaciones dependen de cuál ángulo estas llamando θ; nunca del ángulo recto.
us
a
Sabemos que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. θ
lado adyacente
El lado opuesto a θ se llama lado opuesto.
El lado que toca a θ se llama lado adyacente.
senθ
1
θ
cosθ
71
Relaciones Trigonométricas
Hay dos ángulos que pueden ser llamados θ.
θ
hip
ot
lado adyacente
en
us
a
Una vez que eliges cuál es el ángulo θ, quedan definidos los nombres de los lados.
Puedes cambiarlo después, pero entonces los nombres de los lados también cambian.
lado opuesto
72
Relaciones Trigonométricas
Con este tita, los lados quedan así.
senθ
1
θ
cosθ
73
Relaciones Trigonométricas
Si usas el otro ángulo, llamado α aquí, los nombres cambian de acuerdo a él.
α
cosα
1
senα
74
Relaciones Trigonométricas
hip
o
lado opuesto
Vamos a decir que estoy resolviendo un problema que involucra el triángulo rectángulo.
ten
us
a
θ
lado adyacente
Para usar trigonometría, calcularía un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 1 y lados de senθ y cosθ los cuales tienen el mismo ángulo θ, de modo que son semejantes. 75
Relaciones Trigonométricas
Luego establece las razones.
hip
lado opuesto
ot
Hay razones básicas
relacionando esos dos triángulos. en
us
a
θ
lado adyacente
senθ
Ya que son triángulos semejantes, la razón de cualesquiera dos de sus lados en un triángulo es igual a la razón de los lados en el otro. 1
θ
cosθ
76
Relaciones Trigonométricas
hip
ot
lado opuesto
en
us
senθ lado opuesto op
=
=
1 hipotenusa hip
a
θ
lado adyacente
senθ
1
θ
cosθ
77
Relaciones Trigonométricas
hip
ot
lado opuesto
en
us
a
θ
lado adyacente
senθ
cosθ lado adyacente ady =
=
1 hipotenusa hip
1
θ
cosθ
78
Relaciones Trigonométricas
hip
ot
lado opuesto
en
us
a
θ
lado adyacente
senθ lado opuesto op
=
=
cosθ lado adyacente ady
senθ
1
θ
cosθ
79
Relaciones Trigonométricas
hip
ot
lado opuesto
en
us
a
senθ lado opuesto op =
=
1 hipotenusa hip
θ
lado adyacente
cosθ lado adyacente ady =
=
1 hipotenusa hip
senθ lado opuesto op
=
=
cosθ lado adyacente ady
senθ
1
θ
cosθ
80
Relaciones Trigonométricas
Pero, éstas pueden simplificarse ya que:
senθ
= senθ
1
senθ lado opuesto op =
=
1 hipotenusa hip
cosθ
= cosθ
1
cosθ lado adyacente adj =
=
1 hipotenusa hip
senθ
= tanθ
cosθ
senθ lado opuesto op
=
=
cosθ lado adyacente ady
81
Relaciones Trigonométricas
hip
ot
lado opuesto
en
u
sa
θ
lado adyacente
senθ
lado opuesto
op
=
=
senθ
hip
hipotenusa
lado adyacente
ady
cosθ =
= hip
hipotenusa
op
lado opuesto
tanθ = lado adyacente= adj
1
θ
cosθ
82
Para memorizar estas relaciones trigonométricas frecuentemente suele usarse la expresión "SOH CAH TOA." op
lado opuesto
=
=
senθ
hip
hipotenusa
SOH
lado adyacente ady
= hip
cosθ =
hipotenusa
CAH
lado opuesto op
= ady
tanθ = lado adyacente
TOA
Práctica de matemática
Relaciones Trigonométricas
Si te confundes con los sonidos vocales en SOH CAH TOA, podrías también intentar con la sentencia mnemotécnica de abajo.
Some Old Horse
Caught Another Horse
Taking Oats Away.
83
θ
3.0
Respuesta
15 Calcula el senθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 8.5
8.0
84
θ
3.0
Respuesta
16 Calcula el cosθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 8.5
8.0
85
θ
3.0
8.5
Respuesta
17 Calcula la tanθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 8.0
86
θ
7
16
Respuesta
18 Calcula la tanθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 14
87
θ
7
Respuesta
19 Calcula el senθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 16
14
88
θ
7
Respuesta
20 Calcula el cosθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 16
14
89
Razones Trigonométricas
Por ejemplo, vamos a calcular la longitud del lado x.
x
7.0
El lado que estamos buscando está opuesto al ángulo dado. 30º
y la longitud dada es la hipotenusa;
de modo que usaremos esa función trigonométrica que relaciona a esos tres: : lado opuesto = op
senθ = hip
hipotenusa
90
Razones Trigonométricas
x
op
= hip
senθ = lado opuesto
hipotenusa
op
senθ = hip
7.0
op = (hip) (senθ)
x = (7.0)(sen(30º))
30º
x = (7.0)(0.50)
x = 3.5
91
Razones Trigonométricas
Ahora, vamos a calcular la longitud del lado x en este caso. 9.0
El lado que estamos buscando es adyacente al ángulo dado. 25º
x
y la longitud dada es la hipotenusa;
de modo que usaremos la función trigonométrica que relaciona a esos tres: ady
cosθ = lado adyacente=
hipotenusa
hip
92
Razones Trigonométricas
cosθ = lado adyacente = ady
hipotenusa
hip
ady
cosθ = hip
9.0
adj = (hip)(cosθ)
x = (9.0)(cos(25º))
25º
x
x = (9.0)(0.91)
x = 8.2
93
Razones Trigonométricas
Ahora vamos a calcular la longitud del lado x en este caso.
50º
El lado que estamos buscando es adyacente al ángulo dado;
9.0
x
y la longitud dada es la opuesta al ángulo dado;
de modo que usaremos la función trigonométrica que relaciona a esos tres: op
lado opuesto
tanθ = lado adyacente= ady
94
Razones Trigonométricas
op
lado opuesto
tanθ = lado adyacente= ady
50º
tanθ = op
ady
9.0
op = (ady)(tanθ)
x = (9.0)(tan(50º))
x = (9.0)(1.2)
x
x = 10.8
95
Respuesta
21 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. 35
64º
x
96
28
Respuesta
22 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. x
36º
97
Respuesta
23 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
44º
28
x
98
Respuesta
24 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.. 7.4
37º
x
99
La mayor parte de las veces, se usan razones trigonométricas para resolver problemas cotidianos, como se vió al comienzo de esta unidad. Ahora que las derivaciones de las tres razones trigonométricas te son familiares (seno, coseno y tangente), tu eres capaz de aplicar lo que sabes y resolver esos problemas. Práctica de matemática
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
Antes de comenzar, vamos a repasar algún vocabulario clave que verás en estos problemas. 100
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
El ángulo de elevación es el ángulo sobre la horizontal a un objeto. objeto
ta
c
e
e
lín
a r
El ángulo de depresión es el ángulo debajo a la horizontal a un objeto. .
observador
ángulo de depresión
lín
e
a r
ec
ta
ángulo de elevación
objeto
101
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
Tanto el ángulo de elevación como el de depresión están medidos en relación a las líneas horizontales paralelas, de modo que ambos miden lo mismo. e
d
20º
o
l
n
gu sió
n
á pre
10,000 pies
de
20º ángulo de elevación
102
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
Ejemplo
Amy está remontando un barrilete en un ángulo de 58º. 15
8 p
ies
La cuerda del barrilete tiene 158 pies de x
largo y el brazo de Amy está a 3 pies desde el piso. 58 o
¿A qué altura está el barrilete del piso?
3 pies
103
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
x
15
8 p
ie
s
58º
senθ = x 158
sen58 = x 158
.8480 = x 158
x = 134
Ahora, debemos sumar la altura a la que está el brazo de Amy.
134 + 3 = 137
Esta barrilete está a unos 137 pies del piso.
104
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
Ejemplo
Estas parado sobre una montaña de 5306 pies de alto. Miras hacia abajo tu compamento en un ángulo de 30º. Si tu altura es de 6 pies, ¿a qué distancia está la base de la montaña al campamento?
30o
6 pies
5306 pies
x
105
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
5312 pies
30º
x
tan30 = 5312
x
.5774 = 5312
x
.5774x = 5312
x ≈ 9,200 pies
El campamento está a unos 9,200 pies de la base de la montaña.
106
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
Ejemplo:
Vernon está en la parte superior de un crucero y observa a 2 delfines uno detrás del otro en línea recta al barco. La posición de Vernon es 154 m sobre el nivel del mar, y los ángulos de depresión de los 2 delfines al barco son 35º y 36º respectivamente.
Encuentra la distancia entre los 2 delfines y exprésala a la centésima más cercana del metro. 154 m
107
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
El primer paso es dividir el diagrama en dos diagramas individuales. Luego, calcula la distancia horizontal en ambos. Vamos a llamarlas x e y. 154 m
35º
x
154 m
36º
y
Luego usa las relaciones trigonométricas para calcular esos valores.
108
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
154 m
35º
x
tan 35 = 154
x
0.7002 = 154
x
0.7002x = 154
x = 219.94 m 109
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
154 m
36º
y
tan 36 = 154
y
0.7265 = 154
y
0.7265y = 154
y = 211.98 m 110
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
154 m
219.94 m 211.98 m Ahora, si restamos estas medidas, entonces calcularemos la distancia entre los 2 delfines. 219.94 ­ 211.98 = 7.96 m
111
Respuesta
25 Estás observado la parte superior de un árbol. El ángulo de elevación es 55º. La distancia desde la cima del árbol a tu posición (línea de mirada) es 84 piesSi tienes una altura de 5.5 pies, ¿a qué distancia estás de la base del árbol?
112
Respuesta
26 Una rampa para silla de ruedas tiene 3 metros de longitud y una inclinación de 6º. Calcula la altura de la rampa a la centésima más cercana del centímetro. La altur
113
Respuesta
27 John quiere calcular la altura de un edificio que está proyectando una sombra de 175 pies en un ángulo de 73.75º. Calcula la altura del edificio al pie más cercano.
La altu
114
38°
Respuesta
28 Un operador de radar de un barco detecta un submarino localizado a 800 metros del barco en un ángulo de depresión de 38º. ¿Qué profundidad tiene el submarino?
800 m
115
Respuesta
29 Un operador de radar de un barco detecta a un submarino localizado a 800 metros del barco con un ángulo de depresión de 38º. ´Si el submarino permanece en la misma posición, entonces ¿qué distancia tendría que recorrer el barco para estar directamente sobre el submarino?
38°
800 m
116
38°
Respuesta
30 El barco anda a una velocidad de 32 metros por segundo, en dirección hacia el submarino. Desde su posición actual, ¿cuántos minutos, a la décima más cercana a un minuto, le tomará al barco para estar directamente sobre el submarino? La dist
d
630.41
800 m
630.4
19.
117
Razones Trigonométricas Inversas
Volver a la Tabla de Contenidos
118
Razones Trigonométricas Inversas
Hasta aquí, hemos usado las razones seno, coseno y tangente cuando dada la medida de un ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo queremos calcular las medidas de los lados que faltan. ¿Qué podemos usar cuando necesitamos calcular las medidas de los ángulos agudos?
Tenemos las razones inversa del seno, inversa del coseno e inversa de la tangente que nos ayudarán a responder la pregunta de arriba. Si conocemos las medidas de 2 lados de un triángulo, entonces podemos calcular la medida el ángulo con esas razones. 119
Razones Trigonométricas Inversas
Recuerda:
A continuación se dan las razones trigonométricas inversas. A
op
op
Si senθ = hip
, θ = sin­1 hip
( )
( )
ady ady ­1
Si cosθ = hip
, θ = cos hip
op
op
Si tanθ = ady
, θ = tan­1 ady
( )
op
hip
θ
C
Práctica de matemática
o a o S C T
h
a
h
ady
B
120
Usando la Calculadora con Trigonometría Inversa
Las funciones trigonométricas inversas están localizadas justo arriba de las teclas del seno,coseno y la tangente. Están marcadas en el recuadro sobre la calculadora. En la mayoría de las calculadoras, esas teclas tienen un texto que dice:
SIN­1
COS­1
TAN­1
Generalmente se pueden usar presionando la 2da tecla o la tecla de shift, button (la flecha apunta a la tecla) y la tecla de seno, coseno o tangente.
121
Respuesta
31 Calcula sin­1(0.8) Redondea la medida del ángulo a la centésima más cercana. 122
Respuesta
32 Calcula tan­1(2.3). Redondea la medida del ángulo a la centésima más cercana. 123
Respuesta
33 Calcula cos­1(0.45). Redondea la medida del ángulo a la centésima más cercana.
124
Razones Trigonométricas Inversas
Para calcular la medida de un ángulo desconocido en un triángulo rectángulo, necesitas identificar la función trigonométrica correcta que encontrará el valor faltante. Use "SOH CAH TOA" para ayudarte.
9
∠A es tu ángulo de referencia. A
B
Coloca nombre a los dos lados dados
θ
de tu triángulo, opuesto, adyacente o hipotenusa.
Identifica la función trigonométrica que relaciona a ∠A, y los dos lados. 15
C
125
Razones Trigonométricas Inversas
Usando "SOH CAH TOA", tengo "a" y "h", de modo que la razón es a/h, es decir el coseno. 9 ad
A
B
y
θ
hip 15
C
cos A = 9 15
( )
m A = cos­1 9 15
m A = 53.13º
ahora puedes resolver para for m∠A, el ángulo que falta usando la función trigonométrica inversa.
Una vez que calculaste m∠A, puedes calcular fácilmente m∠C, usando el Teorema de la Suma de Triángulos.
126
Razones Trigonométricas Inversas
Ahora, vamos a calcular la medida del ángulo θ en este caso.
θ
13
12
Los lados que nos han dado son el lado opuesto y la hipotenusa
de manera que usaremos la función trigonométrica que relaciona a esos dos ladosç con nuestro ángulo:
op
senθ = lado opuesto= hip
hipotenusa
127
Razones Trigonométricas Inversas
θ
13
sen θ = 12
13
( )
12
θ = sen­1 12
13
θ = 67.38º 128
34 Calcula m∠D en la figura de abajo.
Respuesta
D
13
E
23
F
129
35 Calcula m∠F en la figura de abajo.
Respuesta
D
35
E
27
F
130
Respuesta
36 Calcula m∠G en la figura de abajo.
G
18
H
17
J
131
Como hemos dicho anteriormente en esta unidad, las razones trigonométricas y las razones trigonométricas inversas se usan para resolver problemas de la vida cotidiana. Ahora que estás familiarizado con las tres razones trigonométricas inversas (inversa seno, inversa coseno e inversa tangente) estás listo para aplicar lo que sabes y resolver esos problemas.
Práctica de matemática
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas
132
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas
Un jugador de hockey está a 24 pies de la portería del equipo contrario. Tira el disco directamente a la portería. La altura de la portería es 4 pies. ¿Cuál es el máximo ángulo de elevación al cual el jugador tiene que tirar el disco para anotar un gol? 4 pies
θ
24 pies
133
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas
tan θ = 4 24
4 pies
θ
24 pies
( )
θ = tan­1 4 24
θ = 9.46º El ángulo de elevación al cual el jugador puede tirar el disco tiene como máximo 9.46º.
134
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas
Inclinas una escalera de 20 pies contra una pared. La base de la escalera está a 5 pies de la pared. ¿Cuál es el ángulo de elevación formado por la escalera y el piso?
20 pies
5 pies
135
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas
cos θ = 5 20
( )
θ = cos­1 5 20
20 pies
θ = 75.52º 5 pies
136
Respuesta
37 Katherine mira hacia abajo de la corona de la estatua de la libertad desde un transbordador situado a 345 pies. La distancia de la corona al piso es alrededor de 250 pies. ¿Cuál es el ángulo de la depresión?
137
Respuesta
38 La Torre Sear en Chicago, Illinois tiene una altura de 1451 pies. El sol está proyectando una sombra de 50 pies sobre el piso. ¿Cuál es el ángulo de elevación formado por la punta de la sombra sobre el piso?
1451 pies
50 pies
138
Respuesta
39 Apoyas una escalera de 30 pies contra un lado de tu casa para entrar en una habitación del segundo piso. La altura de la ventana es 25 pies. ¿En qué ángulo de elevación debes colocar la escalera a fin de alcanzar la ventana? 30 pies
25 pies
139
Respuesta
40 Estás mirando por la ventana de tu habitación la punta de la sombra formada por tu casa. Tu amigo mide la longitud de la sombra y es de 10 pies de largo. Si estás a 20 pies de distancia del piso, ¿cuál es el ángulo de depresión necesario para ver la punta de la sombra de tu casa? 140
Respuesta
41 Vuelves a mirar la sombra de tu casa 3 horas más tarde. Tu amigo mide la longitud de la sombra y es de 25 pies de largo. Si estás a 20 m de distancia del piso, ¿cuál es el ángulo de depresión necesario para ver la punta de la sombra de tu casa?
141
Revisión del Teorema de Pitágoras Volver a la Tabla de Contenidos
142
Revisión del Teorema de Pitágoras
c2 = a2 + b2
"c" es la hipotenusa
"a" y "b" son los dos lados; cual es "a" y cual es "b" no importa.
143
Respuesta
42 Los lados de un triángulo rectángulo tienen 7.0 m y 3.0 m, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?
144
Respuesta
43 Los lados de un triángulo rectángulo tienen 2.0 m y 12 m, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?
145
Respuesta
44 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4.0 m y uno de sus lados tiene una longitud de 2.5 m. ¿Cuál es la longitud del otro lado? 146
Respuesta
45 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9.0 m y uno de sus lados tiene una longitud de 4.5 m. ¿Cuál es la longitud del otro lado?
147
Respuesta
46 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
7
4
148
Respuesta
47 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
15
20
149
Respuesta
48 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
7
4
150
9
Respuesta
49 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
15
151
Respuesta
50 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
3
4
152
Ternas Pitagóricas
Las ternas son soluciones de enteros del Teorema de Pitágoras.
5
3
4
3­4­5 es la más famosa de las ternas. No necesitas una calculadora si te das cuenta de que los lados están en esta relación. 153
Respuesta
51 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
Observ
6
8
154
12
20
Respuesta
52 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
Observ
155
Respuesta
2
2 53 (senθ) + (cosθ) = ?
senθ
1
cosθ
156
Respuesta
54 Katherine mira hacia abajo de la corona de la estatua de la libertad a un ferry entrante a 345 pies. La distancia desde la corona al piso es de 250 pies. ¿Cuál es la distancia desde el ferry a la base de la estatua?
157
Inversa del Teorema de Pitágoras Volver a la Tabla de Contenidos
158
Inversa del Teorema de Pitágoras
Si el cuadrado del lado más largo de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo
B
Si c2 = a2 + b2, entonces
ΔABC es un triángulo rectángulo.
c
a
C
b
A
159
Dí si el triángulo es un triángulo rectángulo. Explica tu razonamiento.
D
Recuerda c es el lado más largo
24
E
7
25
F
Respuesta
Ejemplo
625 = 57
625 = 62
Este eje
Pregunt
estánda
¿Qué in
¿Cómo triángulo
Constru
problem
160
Teorema
Si el cuadrado del lado más largo de un triángulo es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es obtuso. B
c
a
Si c2 > a2 + b2, entonces
ΔABC es obtuso.
C
b
A
161
Teorema
Si el cuadrado del lado más largo de un triángulo es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es agudo. B
a
c
Si c2 < a2 + b2, entonces
ΔABC es agudo.
A
b
C
162
Clasifica el triángulo como agudo, recto u obtuso. Explica tu razonamiento.
15
13
Respuesta
Ejemplo
17
163
A
agudo
B
recto C
obtuso
D
no es un triángulo
12
Respuesta
55 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo.
15
11
164
A
agudo
B
recto C
obtuso
D
no es un triángulo
4
10
Respuesta
56 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo. 6
165
A
agudo
B
recto
C
obtuso
D
no es un triángulo
5
3
Respuesta
57 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo. 6
166
A
agudo
B
recto C
obtuso
D
no es un triángulo
25
Respuesta
58 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo.
20
19
167
A
agudo
B
recto
C
obtuso
Respuesta
59 Dí si las longitudes 35, 65, y 56 representan los lados de un triángulo agudo, recto y obtuso.
168
A
triángulo agudo
B
triángulo recto
C
triángulo obtuso
Respuesta
60 Di si las longitudes representan los lados de un triángulo agudo, recto u obtuso.
169
Revisión
Si c2 = a2 + b2, entonces el triángulo es rectángulo.
Si c2 > a2 + b2, entonces el triángulo es obtuso.
Si c2 < a2 + b2, entonces el triángulo es agudo.
170
Triángulos Rectángulos Especiales
Volver a la Tabla de Contenidos
171
Triángulos Rectángulos Especiales
En esta sección aprenderemos sobre las propiedades de los dos triángulos rectángulos especiales 45­45­90 30­60­90 45o
90o
60o
45o
90o
30o
172
Investigación: Teorema del Triángulo 45­45­90 Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES!
C
1
y
2
Respuesta
Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos.
45º
45º
2
1
45º
y
2
2
173
Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos.
Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES!
45º
W
3
Respuesta
Investigación: Teorema del Triángulo 45­45­90 C
4
45º
3
4
174
Investigación: Teorema del Triángulo 45­45­90 Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos.
C
5
x
6
45º
5
Respuesta
Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES!
45º
6
175
Usando la longitudes de lado que calculaste, ¿puedes descifrar la regla o fórmula para el Teorema del Triángulo 45­45­90?
Respuesta
Teorema del Triángulo 45­45­90 Un trián
triángul
recto, d
veces la
x
176
Teorema del Triángulo 45­45­90 Este teorema puede ser demostrado algebraicamente usando el Teorema de Pitágoras.
a2 + b2 = c2
x2 + x2 = c2
2x2 = c2 x√2 = c
45º
x√2
x
45º
x
177
Calcula la longitud de los lados que faltan. Escribe la respuesta en la forma radical más simple.
6
P
Q
Respuesta
45­45­90 Ejemplo
45º
y
x
45º
R
178
Respuesta
45­45­90 Ejemplo
Calcula la longitud de los lados que faltan. Escribe la respuesta en la forma radical más simple.
S
y
18
Ya que S
triángulo is
ángulo rec
ST=TV
x=y
Hay 2 form
T
x
V
179
Calcula la longitud de los lados que faltan. Escribe la respuesta en la forma radical más simple.
y
Respuesta
45­45­90 Ejemplo
x
8
180
61 Calcula el valor de x.
5
B
5√ 2 C
5√
2
2
y
5
Respuesta
A
x
181
hipot
Respuesta
62 ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de un triángulo isósceles recto si la longitud de los lados es 8√ 2 pulgadas.
182
Respuesta
63 ¿Cuál es la longitud de cada lado en un isósceles, si la longitud de la hipotenusa es 20 cm.
183
Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos.
Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES!
Respuesta
Investigación: Teorema del Triángulo 30­60­90 30º
30º
2
z
y
4
60º
60º
1
2
184
Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos.
Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES!
30º
30º
w
6
v
8
60º
60º
3
Respuesta
Investigación: Teorema del Triángulo 30­60­90 4
185
Investigación: Teorema del Triángulo 30­60­90 30º
30º
u
10
t
12
60º
60º
5
Respuesta
Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos.
Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES!
6
186
Teorema del Triángulo 30­60­90 Respuesta
Usando la longitudes de lado que calculaste, ¿puedes descifrar la regla o fórmula para el Teorema del Triángulo 45­45­90?
En un tr
30­60­9
doble d
más lar
del lado
x
187
Teorema del Triángulo 30­60­90 Este teorema puede ser demostrado usando un triángulo equilátero y el Teorema de Pitágoras.
x
2x
30o
x√ 3
Para el triángulo rectángulo ABD, BD es una bisectriz perpendicular.
Llamemos a = x, c = 2x y b = BD
a2 + b2 = c2
x2 + b2 = (2x)2
x2 + b2 = 4x2
b2 = 3x2
b = x√3
60o
B
c=2x
30º 30º
2x
b
60º
A
a=x
60º
D
x
C
188
30­60­90 Ejemplo
Ejemplo: Calcula la longitud de los lados que faltan del triángulo rectángulo.
G
30º
y
x
60º
H
5
F
189
30­60­90 Ejemplo
G
Recuerda la desigualdad en triángulos, el lado más corto es el opuesto al ángulo más pequeño y el lado más largo es el opuesto al ángulo más 30º
grande
y
HF es el lado más corto
GF es el lado más largo (hipotenusa)
GH es el 2do lado más largo
HF < GH < GF
H
Respuesta
hipoten
x
lado más
60º
5
F
190
Ejemplo: Calcula la longitud de los lados faltantes en el triángulo rectángulo.
x
M
A
60º
9
Respuesta
30­60­90 Ejemplo
lado más y
30º
T
191
30­60­90 Ejemplo
15
30º
y
x
60º
Respuesta
Ejemplo: Calcula la longitud de los lados faltantes en el triángulo rectángulo.
192
30­60­90 Ejemplo
Ejemplo: Calcula el área del triángulo.
Estos sig
209) dire
Práctica de matemática
14 pies
Pregunta
¿Qué inf
¿Qué lon
(MP1)
¿Qué ten
diagrama
MP5)
Arma un
193
30­60­90 Ejemplo
La altitud (o altura) divide al triángulo en dos triángulos 30o­60o­90o.
14 pies
h
?
?
La longitud del lado más corto es 7 pies.
La longitud del lado más largo es 7√3 pies
A = 1/2 b(h) = 1/2 14(7√3)
A = 49√3 pies cuadrados ≈ 84.87 pies cuadrados
194
Ejemplo:
Calcula el área del triángulo.
9 pies
Respuesta
30­60­90 Ejemplo
30o
195
A
Respuesta
64 Calcula el valor de x.
7 60º
B
7√ 3 C
2
7√
2
D
14 7
30º
x
196
A
7 B
7√ 3 C
7√
2
2
14 D
x
7√ 2
Respuesta
65 Calcula el valor de x.
197
66 Calcula el valor de x. A
7 B
7√ 3 7√
2
2
14 C
D
30o
x
60o
Respuesta
7√3
198
Respuesta
67 La hipotenusa de un triángulo 30º­60º­90º es 13 cm. ¿Cuál es la longitud del lado más corto? 199
Respuesta
68 La longitud del lado más largo de un triángulo 30º­60º­90º es 7 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Lado m
200
Práctica de matemática
Este ejem
direcciona
Preguntas
¿Qué info
¿Qué lon
(MP1)
¿Qué ten
diagrama
MP5)
Arma una
La rampa para sillas de ruedas en tu escuela tiene una altura de 2.5 pies y alcanza un ángulo de 30º. ¿Cuál es la longitud de la rampa?
201
Ejemplos Cotidianos
?
2.5
30o
El triángulo formado por la rampa es un triángulo rectángulo 30º­60º­90º. La longitud de la rampa es la hipotenusa. hipotenusa = 2(lados más cortos)
hipotenusa = 2(2.5)
hipotenusa = 5
La rampa tiene 5 pies de largo.
202
Respuesta
69 Un skater construye una rampa usando madera terciada. La longitud de la madera terciada es de 3 pies y cae en un ángulo de 45º. ¿Cuál es la altura de la rampa? Redondea a la centésima más cercana.
45o
?
3 pies
203
45o
3 pies
Respuesta
70 ¿Cuál es la longitud de la base de la rampa? Redondea a la centésima más cercana.
?
204
20 pulgadas
Respuesta
71 Este cartel tiene la forma de un triángulo equilátero. Calcula la altitud.
205
20 pulgadas
Respuesta
72 Este cartel tiene la forma de un triángulo equilátero. Calcula el área del cartel. 206
Preguntas PARCC
Las restantes diapositivas en esta presentación contienen preguntas de la Prueba de Muestra PARCC. Después de terminar esta unidad deberías ser capaz de responder estas preguntas.
¡Buena Suerte!
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207
Pregunta 10/25
Tema: Razones Trigonométricas
Un equipo de arqueólogos está excavando artefactos de un barco mercante hundido en el suelo marino. Para ayudarse con la exploración el equipo usa una sonda robótica. La sonda viaja aproximadamente a 3,900 metros en un ángulo de depresión de 67.4 grados desde el barco del equipo sobre la superficie del océano debajo del barco hundido en el suelo oceánico. La figura muestra una representación del equipo y de la sonda PARCC Released Question (EOY)
208
Pregunta 10/25
Tema: Razones Trigonométricas
A 1,247
B 1,500
Respuesta
73 Cuando la sonda alcanza el suelo oceánico, aproximadamente estará a __________ metros debajo de la superficie del océano. C 1,623
D 3,377
E 3,600
PARCC Released Question (EOY)
209
Pregunta 10/25
Tema: Razones Trigonométricas
74 Cuando la sonda alcanza el suelo oceánico, la distancia horizontal de la sonda detrás del barco del equipo sobre la superficie del océano será aproximadamente ___________ metros.
AF 1,247
CH 1,623
DI 3,377
Respuesta
BG 1,500
EJ 3,600
PARCC Released Question (EOY)
210
75 En el triángulo rectángulo ABC, m∠B ≠ m∠C. Vamos a llamar al sen B = r y al cos B = s. ¿Cuánto es el sen C ­ cos C?
B
A r + s
Respuesta
Tema: Razones Trigonométricas
Pregunta 3/25
B r ­ s
C s ­ r
D r
s
A
C
PARCC Released Question (EOY)
211
Tema: Razones Trigonométricas
Pregunta 16/25
Un vehículo aéreo no tripulado (UAV) está equipado con cámaras usadas para monitorear los incendios en lso bosques. La figura representa un momento en el tiempo en el cual un UAV, en el punto B, volando a una altitud de 1,000 metros (m) está directamente arriba del punto D sobre el piso del bosque. El punto A representa la localización de un pequeño fuego sobre el suelo del bosque. PARCC Released Question (EOY)
212
Pregunta 16/25 Parte A
Tema: Razones Trigonométricas
Respuesta
76 En el momento representado por la figura, el ángulo de depresión desde el UAV al fuego mide 30º. En ese momento, ¿cuál es la distancia desde el UAV al fuego?
PARCC Released Question (EOY)
213
Pregunta 16/25 Parte B
Tema: Razones Trigonométricas
Respuesta
77 ¿Cuál es la distancia, al metro más cercano, del fuego al punto D? PARCC Released Question (EOY)
214
Respuesta
Tema: Razones Trigonométricas
Pregunta 16/25 Parte C
78 Los puntos C y E representan el rango lineal de visión de la cámara cuando está apuntando directamente hacia abajo al punto D. El campo de visión de la cámara es 20º y está representado en la figura por ∠CBE. La cámara toma una imagen directamente sobre el punto D, ¿cuál es el ancho aproximado del suelo del bosque que será capturado en la imagen?
A 170 metros
B 353 metros C 364 metros D 728 metros PARCC Released Question (EOY)
215
Pregunta 16/25 Parte D
Tema: Razones Trigonométricas
Respuesta
79 El UAV está volando a una velocidad de 13 metros por segundo directo hacia el fuego. Supón que la altitud del UAV es 800 metros, ahora. La nueva posición está representada por F en la figura. Desde su posición en el punto F, ¿cuántos minutos, a la décima más cercana de un minuto, le tomará al UAV estar directamente sobre el fuego?
A 0.6
B 1.2
C 1.8
D 2.0
PARCC Released Question (EOY)
216
Pregunta 20/25 Parte A
Tema: Razones Trigonométricas
Respuesta
Un resorte está unido a un extremo a un soporte B y en el otro extremo a una argolla A, como se representa en la figura. La argolla A se desliza a lo largo de una barra vertical entre los puntos C y D. En la figura, el ángulo θ es el ángulo formado a medida que la argolla se mueve entre los puntos C y D.
80 Cuando θ = 28°, ¿cuál es la distancia desde el punto A hasta el punto B, expresada a la décima más cercana de un pie?
PARCC Released Question (EOY)
217
Pregunta 20/25 Parte B
Respuesta
Tema: Razones Trigonométricas
Un resorte está unido a un extremo a un soporte B y en el otro extremo a una argolla A, como se representa en la figura. La argolla A se desliza a lo largo de una barra vertical entre los puntos C y D. En la figura, el ángulo θ es el ángulo formado a medida que la argolla se mueve entre los puntos C y D.
81 Cuando el resolrte está estirado y la distancia desde A a B es 5.2 pies, ¿cuál es el valor de θ a la décima más cercana de un grado? A 35.2° C 54.8° B 45.1° D 60.0° PARCC Released Question (EOY)
218
Pregunta 4/7
Tema: Razones Trigonométricas
m∠F = 90º
DE = √113
DF = 7
EF = 8
Escribe una expresión que represente cos W.
Respuesta
82 El triángulo rectángulo WXY es semejante al triángulo DEF. Las siguientes son medidas en el triángulo rectángulo DEF. ¿Qué número representa al numerador de la fracción?
A 90
B √113
C 7
D 8
PARCC Released Question (PBA)
219
Pregunta 4/7
Tema: Razones Trigonométricas
m∠F = 90º
DE = √113
DF = 7
EF = 8
Escribe una ecuación que represente al cos W.
Respuesta
83 El triángulo rectángulo WXY es semejante al triángulo DEF. Las siguientes son medidas del triángulo rectángulo DEF. ¿Qué número representa al denominador de la fracción?
A 90
B √113
C 7
D 8
PARCC Released Question (PBA) 220
Tema: Razones Trigonométricas
84 La medida el grados de un ángulo en un triángulo rectángulo es x, y el sen de x = 1/3. ¿Cuáles de esas expresiones son iguales a 1/3? Selecciona todas las que aplican.
A cos(x)
B cos(x ­ 45°)
Respuesta
Pregunta 6/7
C cos(45° ­ x)
D cos(60° ­ x)
E cos(90° ­ x)
PARCC Released Question (PBA)
221
Question 7/7
Tema: Razones Trigonométricas
Respuesta
85 En esta figura, el triángulo GHJ es semejante al triángulo PQR. En base a esta información, ¿qué relación representa a tan H?
17
A 8 P
Q
15
B 8 J
8
17
15
C 15
8
R
H
G
17
D 8
PARCC Released Question (PBA)
222
Question 5/11
Tema: Razones Trigonométricas
tan(42) =
Respuesta
86 Mariela está parada en un edificio y mira por la ventana un árbol. El árbol está a 20 pies desde Mariela. La línea de visión de Mariela a la cima del árbol forma un ángulo de elevación de 42, y su línea de visión a la base del árbol forma un ángulo de depresión de 31°.
x = 20tan
x = 18 o tan(31) =
y = 20tan
y = 12 o ¿Cuál es la altura en pies, del árbol? Escribe tu respuesta.
PARCC Released Question (PBA)
223
Preguntas de la Prueba PARCC Las siguientes preguntas que están en la prueba PARCC ­ PBA usan lo que hemos aprendido y lo combina con lo que aprendimos anteriormente para formar una buena pregunta. Por favor, intenta ésto por tí mismo.
Luego, iremos a lo largo del proceso que usamos para resolverlo.
PARCC Released Question (PBA)
224
Pregunta 1/11
Tema: Razones Trigonométricas
La figura muestra el diseño de un galpón a construir. usa la figura para responder todas las partes de la tarea. 9 pies
x°
s
18 pies
pie
8
1
La base del galpón será un cuadrado que mide 18 pies por 18 pies. La altura de los lados rectangulares será 9 pies. La medida del ángulo formado por el techo con el lado del galpón puede variar y está nombrado como x°. Diferentes ángulos en el techo forman diferentes áreas de techo. El área del techo determinará el número de tejas para techos necesarias para construir el galpón. Para cumplir con las necesidades de drenaje, los ángulos del techo deben ser al menos 117°.
225
Parte A
El constructor del galpón está considerando usar un ángulo que mide 125°. Determina el área del techo si se usa el ángulo de125. Explica o muestra tu proceso.
Parte B
Sin cambiar las medidas de la base del galón, el constructor también esta considerando usar un ángulo de techo que creará un área de techo que es 10% menor que el área del techo para la Parte A. Menos superficie requerirá menos tejas. ¿Cumplirá el ángulo con las necesidades específicas de drenaje? Explica como obtuviste tu conclusión.
Parte C
Un paquete de tejas cuesta $27.75. Cada paquete puede cubrir aproximadamente 35 pies cuadrados. Se puede comprar las tejas en paquetes completos. El constructor tiene un presupuesto de $325 para tejas. ¿Cuál es el mayor ángulo que el constructor puede usar para estar dentro de su presupuesto? Explica o muestra tu proceso. 226
Pregunta 1/11 Parte A
Tema: Razones Trigonométricas
87 ¿Qué conceptos se usarán para el problema?
A Área de un rectángulo
Respuesta
El constructor del galpón está considerando usar un ángulo que mide 125°. Determina el área del techo si se usa el ángulo de125. Explica o muestra tu proceso.
B Trigonometría de Triángulos Rectángulos
C Postulado de la Adición de Ángulos
D Todos los de arriba
227
88 Si el valor de x es 125°, ¿cuál sería la m∠1?
A 90°
B 25°
C 35°
D 160°
1
9 pies
x°
x°
ies
18 pies
p
18 2
9 pies
Respuesta
Tema: Razones Trigonométricas
Pregunta 1/11 Parte A
18 pies
Vista frontal del galpón 228
Tema: Razones Trigonométricas
89 ¿Cuál sería el valor de y en la figura a la derecha?
A 6 pies
B 9 pies
C 12 pies
D 18 pies
9 pies
y
x°
x°
s
18 pies
ie
8 p
1
Respuesta
Pregunta 1/11 Parte A
1
2
9 pies
18 pies
Vista frontal del galpón 229
Tema: Razones Trigonométricas
90 ¿Qué razón usaríamos para calcular el valor de z en la figura de abajo?
A sen(35) = z 18
B tan(35) = 9 z
C cos(35) = 9 z
D tan(35) = z 9
z
9 pies
x°
18 pies
y
s
pie
18 x°
1
Respuesta
Pregunta 1/11 Parte A
2
9 pies
18 pies
Vista frontal del galpón 230
Pregunta 1/11 Parte A
Tema: Razones Trigonométricas
z
A 7.37 pies
B 10.32 pies
z
9 pies
x°
18 pies
C 10.99 pies
D 12.85 pies
y
x°
s
pie
18 9 pies
1
2
Respuesta
91 ¿Cuál es el valor de z en la figura de abajo?
18 pies
Vista frontal del galpón 231
Pregunta 1/11 Parte A
Tema: Razones Trigonométricas
A 98.91 pies
z
2
B 197.82 pies
z
2
2
C 296.73 pies D 395.64 pies2
9 pies
y
x°
18 pies
x°
s
pie
8
1
9 pies
1
2
Respuesta
92 ¿Cuál es el área del techo?
18 pies
Vista frontal del galpón 232
Pregunta 1/11 Parte B
Tema: Razones Trigonométricas
Sin cambiar las medidas de la base del galón, el constructor también esta considerando usar un ángulo de techo que creará un área de techo que es 10% menor que el área del techo para la Parte A. Menos superficie requerirá menos tejas. ¿Cumplirá el ángulo con las necesidades específicas de drenaje? Explica como obtuviste tu conclusión.
233
Tema: Razones Trigonométricas
93 Después de calcular la respuesta que el área del techo es 395.64 pies2, ¿cuál sería el área del techo que es menor en un 10%?
z
z
A 356.08 pies2
9 pies
B 316.52 pies
9 pies
x°
2
18 pies
x°
s
pie
18
1
2
Respuesta
Pregunta 1/11 Parte B
Si e
respues
del techo
nuevo
re
9 pies
C 197.8 pies2 A
18 pies
D 39.56 pies2
Vista frontal del galpón 234
Pregunta 1/11 Parte B
94 Usando el área que calculamos en las diapositiva previa, ¿cuál es el nuevo valor de z?
z
A 10.99 pies
B 17.58 pies
C 19.78 pies
D 9.89 pies
9 pies
z
9 pies
x°
x°
18 pies
1
2
Respuesta
Tema: Razones Trigonométricas
s
pie
18 9 pies
18 pies
Vista frontal del galpón 235
Pregunta 1/11 Parte B
Tema: Razones Trigonométricas
95 Usando el nuevo valor de z, ¿cuál es la nueva m∠1?
B 24.49°
C 42.30°
D 47.70°
9 pies
z
9 pies
x°
x°
18 pies
1
2
s
pie
18 9 pies
Respuesta
z
A 65.51°
18 pies
Vista frontal del galpón 236
Pregunta 1/11 Parte B
Tema: Razones Trigonométricas
Sí No Respuesta
96 ¿Satisfacen las medidas del nuevo ángulo x los requerimientos de construcción?
z
z
9 pies
9 pies
x°
18 pies
x°
s
pie
18 1
2
9 pies
18 pies
Vista frontal del galpón 237
Pregunta 1/11 Parte C
Tema: Razones Trigonométricas
Un paquete de tejas cuesta $27.75. Cada paquete puede cubrir aproximadamente 35 pies cuadrados. Se puede comprar las tejas en paquetes completos. El constructor tiene un presupuesto de $325 para tejas. ¿Cuál es el mayor ángulo que el constructor puede usar para estar dentro de su presupuesto? Explica o muestra tu proceso. 238
z
z
A 10
9 pies
B 11
9 pies
x°
18 pies
x°
s
pie
18 1
Respuesta
Pregunta 1/11 Parte C Tema: Razones Trigonométricas
97 Si un paquete de tejas cuesta $27.75 y su presupuesto es $325, ¿cuántos paquetes de tejas puede comprar? 2
9 pies
C 11.71
18 pies
D 12
Vista frontal del galpón 239
z
2
A 420 pies 2
B 409.85 pies 9 pies
C 385 pies2 z
9 pies
x°
x°
18 pies
Respuesta
Tema: Razones Trigonométricas
Question 1/11 Part C
98 Si cada paquete de tejas cubre un área de 35 pies cuadrados, entonces, ¿cuál es el área cubierta por la cantidad de paquetes que el constructor compró? 1
2
s
pie
18 9 pies
D 350 pies2 18 pies
Vista frontal del galpón 240
A 10.69 pies
B 14.26 pies
C 16.04 pies D 21.39 pies
z
z
9 pies
9 pies
x°
18 pies
pie
18 x°
s
1
2
Respuesta
Pregunta 1/11 Parte C Tema: Razones Trigonométricas
99 Usando la nueva área calculada en la última pregunta, ¿cuál es el valor de z en las figuras de abajo? 9 pies
18 pies
Vista frontal del galpón 241
Tema: Razones Trigonométricas
100 Usando el nuevo valor de z calculado en la última pregunta, ¿cuál es el nuevo valor de x en las figuras de abajo? A 32.66°
z
z
B 57.34°
9 pies
C 122.66°
Respuesta
Pregunta 1/11 Parte C
9 pies
x°
18 pies
x°
s
pie
8
1
1
2
9 pies
D 147.34°
18 pies
Vista frontal del galpón 242
Preguntas de la Prueba PARCC Las siguientes preguntas que están en la prueba PARCC ­ PBA usan lo que hemos aprendido y lo combina con lo que aprendimos anteriormente para formar una buena pregunta. Por favor, intenta ésto por tí mismo.
Luego, iremos a lo largo del proceso que usamos para resolverlo.
243
Tema: Resolución Problemas con Triángulos Semejantes
Pregunta 3/11
Una cartelera a nivel del piso tiene un soporte de 26 pies de longitud que se extiende desde la parte superior del cartel al piso. Se le une un poste de 5 pies de alto al soporte y está a 4 pies desde donde la base del soporte está metida en el piso. En la figura la distancia, en pies, desde la base de la cartelera a la base del soporte está nombrada como x. Arma una ecuación que pueda ser usada para determinar x. Discute cualquier supuesto que podría hacerse en relación a esta ecuación. Usa la ecuación para calcular el valor de x. Muestra tu trabajo o explica tu respuesta. 244
Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes
101 ¿Se puede resolver este problema?
Sí No Respuesta
Pregunta 3/11
245
Pregunta 3/11
Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes
A Teorema de Pitágoras
B Trigonometría de Triángulo Rectángulo
Respuesta
102 Si asumimos que tanto la cartelera como el poste están perpendiculares al piso, ¿qué conceptos podríamos usar para resolver este problema?
C Triángulos Semejantes
D Todos los de arriba
246
Pregunta 3/11
Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes
Primero, vamos a usar la combinación del A Teorema de Pitágoras y C Triángulos Semejantes
A 3
B 9
Respuesta
103 ¿Cuál sería el valor de y?
C √41
D 41
247
Pregunta 3/11
Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes
5 = √41
x 26
B 4 = √41
x 26
C 5 = √41
b 26
D 4 = 26 x √41
A Respuesta
104 ¿Qué proporción usaríamos para calcular el valor de x?
248
105 ¿Cuál es el valor de x?
Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes
Respuesta
Pregunta 3/11
249
Ahora, vamos a usar la combinación de B Trigonometría de Triángulos Rectángulos y C Triángulos Semejantes.
106 ¿Cuál sería la razón que usaríamos para calcular la medida del ángulo G?
A tan G = 5 4
B sen G = 5 26
C cos G = 4 26
D tan G = 4 5
Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes
Respuesta
Pregunta 3/11
250
Pregunta 3/11
Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes
Respuesta
107 ¿Cuál es la medida del ángulo G?
E
F
G
251
Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes
Ya que los dos triángulos son semejantes, la medida del ángulo G es igual en ambos triángulos. 108 Usando la medida del ángulo G, ¿cuál es el valor de x?
E
F
Respuesta
Pregunta 3/11
G
252
Attachments
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