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Hoja de Problemas nº1 – Algebra 1
1. Hallar un número cuadrado perfecto de cinco cifras sabiendo que el producto
de esas cinco cifras es 1568.
Solución:
n2 = x1 · 104 + x2 · 103 + x3 · 102 + x4 · 10 + x5
Sea
sea
n = a · 102 + b · 10 + c
el número que buscamos y
la raíz cuadrada del número que buscamos.
Entonces debe ocurrir que:
x1 · 104 + x2 · 103 + x3 · 102 + x4 · 10 + x5 =
= a2 · 104 + 2ab103 + (b2 + 2ac) · 102 + 2bc10 + c2
Por otro lado sabemos que 1568 = 72 · 25 , entonces se tiene que n2 debe estar
formado por las siguientes posibles cifras:
1) 7, 7, 8, 4, 1
2) 7, 7, 8, 2, 2
3) 7, 7, 4, 4, 2
La opción 2) no es posible porque un cuadrado no puede tener nunca como cifra de
las unidades un 7, un 8 o un 2.
Por otro lado la opción 3) tampoco puede ser, pues la suma de sus cifras es 24, que
es dursible por 3, pero no por 9, por lo tanto no pueden formar un cuadrado perfecto.
Por lo tanto las cifras de n2 deben ser 7, 7, 8, 4, 1 y bajo estas condiciones se tiene
que x5 debe ser 1 o 4 y x4 debe ser par. Entonces se tiene que los posibles valores de n2
son:
17784
71784
77184
77841
78741
87741
74781
77481
47781
Pero de todos ellos el único que es un cuadrado perfecto es:
77841 = (279)2
Entonces:
N2 = 77841
2. Encontrar un número “abcd” de 4 cifras en base 12, tal que es cuadrado
perfecto y además los números “ab” y “cd” son consecuentes en base 12.
Solución:
Como bien nos dice el problema, se tiene que
1/7
ab + 1 = cd,
y por otro lado1000012) ≤ abcd < 10000012)
⇒ Pasando la desigualdad a base 10, se tiene que
1728 ≤ n2 < 20738
donde denotamos por n2 el número abcd pero en base 10.
Entonces tenemos que 42 ≤ n < 144
Por otro lado tenemos que
abab = abcd – 1 ⇒
⇒ a · 123 + b · 122 + a · 12 + b = 145(12ª + b) = n2 – 1 ⇒
⇒ 29 · 5 · (12ª + b) = (n – 1)(n + 1).
Por lo tanto (n – 1) o (n + 1) deben ser múltiplos de 29 y como 42 ≤ n < 144,
entonces:
• Si n – 1 es múltiplo de 29, y como (n – 1)(n + 1) debe ser múltiplo de 5
entonces n = 59 ⇒ n2 = 3481 = 202112) que verifica las condiciones.
• Si n + 1 es múltiplo de 29 y como (n – 1)(n + 1) debe ser múltiplo de 5
entonces n = 86 ⇒ n2 = 7396 = 434412) que verifica las condiciones del problema.
Por lo tanto hay dos soluciones posibles para este problema:
n1 = 202112)
y
n2 = 434412)
3. En un sistema de numeración cuya base se desconoce, dos números se escriben
302 y 402. El producto de ambos números es 75583 en el sistema de numeración
de base 9. Hallar la base desconocida.
Solución:
Tenemos que:
302n) · 402n) = 755839)
Entonces pasándolo a base diez se tiene que:
(3 · n2 + 2)(4 · n2 + 2) = 7 · 94 + 5 · 93 + 5 · 92 + 8 · 9 + 3 ⇒
⇒ (3n2 + 2)(4n2 + 2) = 50052 ⇒
⇒12n4 + 6n2 + 8n2 + 4 = 50052 ⇒ 12n4 + 14n2 – 50048 = 0 ⇒
⇒ 6n4 + 7n2 – 25024 = 0, haciendo n2 = m tenemos:
2/7
6m2 + 7m – 25024 = 0 ⇒ m =
− 7 ± 49 + 600576
=
12
64
=
− 7 ± 775
=
12
)
-65´1 6
lo rechazamos
⇒ n2 = 64 ⇒ n1 = 8 o n2 = -8 que lo rechazamos ⇒ la soluciónes n1 = 8
4. Demuestre que para todo número natural n, n ≥ 1, se tiene:
1 2 n ( −1) m +1
∑ =∑
m
k =n +1 k
m =1
2n
Solución:
2n

1 2 n (−1) m +1 
Sea Α = n ∈ ΙΝ / ∑ = ∑

m 
k = n +1 k
m =1

ι) ¿1∈Α?
2
∑k = 2
1
1
k=2
⇒ 1∈Α
( −1)
m
m =1
2
∑
m +1
=
(−1)
( −1)
1 1
+
=1 − =
1
2
2 2
2
3
ιι) Supongamos cierto que n∈Α, es decir:
1 2 n ( −1) m +1
.
∑ =∑
m
k =n +1 k
m =1
2n
1 2 n +2 (−1) m +1
?
∑ =∑
m
k =n + 2 k
m =1
2 n +2
Veamos si (n + 1)∈Α, ¿
2 n +2
2 n +2
2n
1
1
1
1
1
1
1
1
=
−
+
=
−
+
+
=
∑
∑
∑
n + 1 n + 1 k =n + 2 k k =n +1 k n + 1 2n + 1 2 n + 2
k =n + 2 k
(−1)
m
m =1
2n
=∑
=
m +1
1
2n
1
1
( −1) m +1 (−1) 2 n + 2 ( −1) 2 n +3
2
+
−
+
=∑
+
+
=
2 n + 1 n + 1 n + 1 m =1 m
2n +1
2n + 2
(−1) m +1
⇒ (n + 1)∈Α
∑
m
m =1
⇒
2 n +2
Α = ΙΝ
3/7
5. Hallar un número de cinco cifras diferentes que sea igual a la suma de todos los
de tres cifras que se pueden obtener formando todas las variaciones ordinarias
de dichas cinco cifras tomadas de tres en tres.
Solución:
Supongamos que
N = x1 x2 x3 x4 x5
no, no tendría cinco cifras.
es el número pedido con x1 ≠ 0, porque si
Como con esas cinco cifras queremos formar números de tres cifras se tiene que
hay
V5,3 = 60 posibilidades, de las cuales hay 12 que tienen una cifra determinada
en una posición determinada.
Por tanto tenemos que:
12(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) + 12(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) · 10 +
+ 12(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) · 100 = 1332(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )
y por lo tanto:
N = 1332(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )
Entonces N es múltiplo de 9 porque 1332 lo es, y utilizando el criterio de
divisibilidad del 9 se tiene que:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 9t
y dado que todas las cifras son distintas entre si, su suma estará entre:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
y 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35
⇒ 15 ≤ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 35
Por lo tanto los únicos valores posibles de t son
t=2
y
t = 3.
• Si t = 2 entonces
N = 1332 · 9 · 2 = 23976, y como la suma de sus cifras
es 27 ≠ 18 = 9 · 2 entonces contradice que
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 9t
⇒ Este número no es el buscado.
• Si
t=3
entonces
3 + 5 + 9 + 6 + 4 = 27 = 9 · 3
N = 1332 · 9 · 3 = 35964
entonces
N = 35964
y como
es la solución del problema.
6. Dados los códigos ordenados de cinco letras entre las ocho: A, B, C, D, E, F, G,
H (repetidas o no, se pide hallar:
a) Número total de códigos.
b) 1) Número de ellos con una sola letra repetida dos veces. Ejemplo: ABACH.
4/7
2) Número de ellos con dos letras repetidas dos veces cada una. Ejemplo:
ABBCA.
3) Número de ellos con una letra repetida tres veces. Ejemplo: ABAAE.
4) Número de ellos con una letra repetida tres veces y otra dos. Ejemplo:
AABAB.
5) Número de ellos con una letra repetida cuatro veces.
6) Número de ellos con una letra repetida cinco veces.
7) Número de los que no estén comprendidos en los grupos anteriores.
8) Supuestas ordenadas las letras alfabéticamente, calcular el número de
códigos formados por cinco letras consecutivas en dicho orden. Ejemplo:
DGFHE.
c) Supuesto el orden lexicográfico entre los códigos, hallar el que corresponde
al 1729.
Solución:
a) El número total de códigos viene dado por las variaciones con repetición de 8
elementos tomados de 5 en 5.
VR8,5 = 85 = 32768
b) 1) C5,2 · 8 · V7,3 = 16800
2) C5,2 · C3,2 · C8,2 · 6 = 5040
3) C5,3 · 8 · V7,2 = 3360
4) C5,3 · 8 · 7 = 560
5) C5,4 · 8 · 7 = 280
6) C5,5 · 8 = 8
7) Le restamos al total de códigos posibles la suma de los anteriores:
32768 – 26048 = 6720
8) Elegidas cinco letras consecutivas el número de formas diferentes de
ordenarlas es
P5 = 5! = 120 y como hay cuatro formas diferentes de elegir
cinco letras consecutivas entre ocho, se tiene que:
4 · 120 = 480
c) Si definimos la aplicación f = {A, B, C, D, E, F, G, H} → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
dada por:
f(A) = 0, f(B) = 1, f(C) =2, f(D) = 3, f(E) = 4, f(F) = 5, f(G) = 6, f(G) = 7.
El orden lexicográfico de los códigos coincide con el orden de los números en base a 8,
por ejemplo: el 00000 corresponde a AAAAA entonces la posición 1729 en verdad es el
número 1728 según nuestra aplicación, es decir
1728 = 033008) = ADDAA.
Entonces la solución es ADDAA
7. Dos mujeres y tres hombres suben a un ascensor en la planta baja de un
edificio de seis pisos. Averiguar de cuantas maneras se pueden bajar del
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ascensor, sabiendo que en un mismo piso no pueden bajar personar de distinto
sexo.
Solución:
Hay que tener en cuenta dos posibilidades a la hora de contar, y es que las mujeres
se pueden bajar en la misma planta o en distintas plantas.
• Si las mujeres se bajan, las dos, en la misma planta tenemos cinco formas
diferentes de que se bajen, ya que como se suben en la planta baja, se pueden bajar en
cualquiera de las otras cinco plantas. Para cada una de las cinco formas de bajarse las
 3 + 4 − 1
6!
mujeres hay 
 =
= 20
formas de bajarse los hombres, que son las
 3  3!·3!
combinaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3.
 5
  = 10
 2
• Si las mujeres se bajan en pisos distintos se tiene que hay
formas
 3 + 3 − 1

 = 10 formas diferentes de
 3 
bajarse, combinaciones con repetición de 3 elementos tomados de 3 en 3.
diferentes de bajarse, y los hombres tendrán
Por lo tanto:
N = 5 · 20 + 10 · 10 = 200 ⇒ El resultado es
N = 200
8. Determinar el número máximo de puntos de intersección de las diagonales de
un polígono convexo de n lados:
a)Contenidos en el interior de aquel.
b) Situados en su exterior.
Solución:
a) Cada cuatro vértices distintos del polígono definen dos diagonales que se cortan
en un punto de intersección interior. Entonces:
 n
Pi =  
 4
b) Para poder calcular los puntos exteriores de intersección entre las diagonales,
vamos a calcular los puntos de intersección totales entre las diagonales y luego
restaremos las interiores, obtenemos así los puntos de intersección exteriores entre las
diagonales.
Como tenemos n vértices y n lados, entonces tenemos
6/7
 n
n( n − 3)
  − n =
2
 2
Diagonales distintas (que no son los lados del triángulo). Como en cada vértice
 n − 3
concurren
n - 3 diagonales, tenemos por lo tanto que hay


 2 
diagonales que se cortan en cada vértice. Como cada dos diagonales hay un punto de
intersección se tiene que:
 n (n − 3   n − 3 n( n − 3)( n 2 − 7n + 14)
PT =  2  − n
=

  2 
8
 2 
Entonces tenemos los puntos exteriores de intersección entre las diagonales vienen
dados por:
n( n − 3)( n 2 − 7 n + 14)  n  n( n − 3)( n − 4)( n − 5)
Pe = PT – Pi =
−   =
8
12
 4
Entonces las soluciones son:
 n
a) Pi =  
 4
b) Pe =
n( n − 3)( n − 4)( n − 5)
12
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