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Módulo de Trigonometría Segundo año
TEORIA DE ANGULOS
Para medir un ángulo, debemos identificar: el lado Inicial y el Lado Terminal.
Lado Terminal
Vértice
Lado Inicial
Tipos de ángulos
Descripción
Ejemplo
Ángulo agudo
Un ángulo que mide menos de 90°
30º, 45º,
15
Ángulo recto
Es el ángulo que mide 90°
90º
Un ángulo que mide más de 90° pero menos de
180°
100º,170º
un ángulo que mide exactamente 180°
180º
Ángulo obtuso
Ángulo llano
Ángulo reflejo o cóncavo
Es un ángulo que mide más de 180°
El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
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Módulo de Trigonometría Segundo año
Los ángulos se pueden medir en grados. Hay 360 grados en una vuelta completa.
El Radian: Es la medida del ángulo que se forma cuando en radio gira a partir del lado
positivo del eje X y su extremo recorre una longitud de arco igual a un radio.
Los ángulos se pueden medir en grados o radianes. Un radián son 180/π grados,
aproximadamente 57.296°.
Caso I
¿Cómo convertir de grados a radianes y viceversa?
Ejemplo 1
1
Convertir 72º a radianes.
Ruta de Solución:
180º = π rad
Establecer la equivalencia;
Plantear la Regla de Tres directa;
180º = π rad
72º = x
Resolvemos la regla de tres:
(72º)(πrad)
= 0.4π rad
180º
0.4π rado también 1.256 rad.
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
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Módulo de Trigonometría Segundo año
En muchos casos, la respuesta no se da en π rad sino solo en radianes, por lo tanto
multiplicamos por 3.14 que es el valor aproximado usado tradicionalmente y resultaría:
1.256 rad. Aproximadamente.
Caso II
¿Cómo convertir de grados a radianes y viceversa?
Ejemplo 2
Convertir 3.24 rad a grados.
Ruta de Solución:
Establecer la equivalencia;
180º = πrad
180º= πrad
Plantear la Regla de Tres directa;
x = 3.24 rad
Resolvamos la regla de tres directa:
(3.24 rad)(180º)
πrad
= 185.64º
Caso III
¿Cómo convertir de grados a radianes y viceversa?
Convertir 1.23 πrad a grados:
Ejemplo 3
Este caso es más simple, solo bastara con sustituir πrad por su equivalencia en 180º.
1.23 πrad = (1.23)(180º) = 221.4
PRACTICA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
Encuentra la medida en radianes de los valores en grados siguientes:
1) 60º , 2) 135º , 3) -75º , 4) 540º , 5) 4º
Encuentra el valor en grados que corresponde en radianes:
6)
2
3
πrad , 7)
π
9
 , 8) -7πrad , 9) 0.123 rad , 10) 3.67 rad.
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
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Se calculan así. 90º - ø
ANGULOS COMPLEMENTARIOS
Son aquellos ángulos que juntos miden 90º
90º - ø
ø
Se calculan así. 180º - ø
ANGULOS SUPLEMENTARIOS
Son aquellos ángulos que juntos miden 1800º
180º - ø
ø
El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal,
está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y
sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del
siguiente modo:



1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).
Por lo tanto puedes escribir 90º como 89º59’60’’
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
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Resuelve los siguientes Ejercicios.
Encuentra el ángulo complementario a los ángulos que se te presentan:
1)75º
2) 18º
3)25º30’
4)30º25’10’’
5)40º40’40’’
Ahora calcula el ángulo suplementario a cada ángulo que se te presenta:
6) 115º
7)60º
8)45º
9) 30º30’
10) 80º40’20’’
ANGULOS COTERMINALES
Se refiere a aquellos ángulos que poseen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal.
Por ejemplo: Encontrar el menor ángulo positivo que sea coterminal con 60º.
RUTA DE SOLUCION
60º
Dibuja con tu transportador
el ángulo dado.
ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Partamos de la siguiente figura:
Vértice común
b
c
a
d
¿Quiénes son los ángulos opuestos por el vértice?
Son los ángulos que se ubican uno frente al otro a través de su vértice común, por lo
tanto:
El ángulo “a” es opuesto al ángulo “c”, y también el ángulo “b” es opuesto al ángulo
“d”.
“ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE SON IGUALES”
=
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
 =
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De aquí que: Si conocemos el valor del ángulo a = 105º , podemos obtener el valor de
los otros angulosa si:
=
Ruta de solución:
105º = 
Aplicando el caso de ángulos
opuestos por el vértice son
iguales:
a + b = 180º
105 + b = 180º
Usamos el caso de los ángulos
suplementarios:
b = 180º - 105º
Aplicamos de nuevo el caso de
los ángulos opuestos por el
vértice:
b = 75º
=
75º = d
ANGULOS ALTERNOS INTERNOS
Los ángulos alternos internos surgen, cuando a una línea paralela le corta una secante,
así:
Recta Secante
b
a
c
f
g
d
Rectas Paralelas
e
h
¿Quiénes son los ángulos alternos internos?
=

=
Volvamos al ejemplo anterior donde el ángulo a = 105º, ¿cómo se encontraran los
valores de los otros ángulos?
Para resolver hacemos uso de los principios antes estudiados, como, ángulos opuestos
por el vértice son iguales, los ángulos suplementarios:
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
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Ángulos opuestos por el vértice:
Ángulos alternos internos:
a = c entonces 105º = c
c = e entonces
Ángulos opuestos por el vértice:
e = g entonces
Ángulos suplementarios:
a + b = 180º
105º = e
105º = g
entonces 105º + b = 180º
b = 180º - 105º
b = 75º
Repetimos el proceso de utilizar los principios anteriores:
Ángulos opuestos por el vértice:
b = d entonces 75º = d
Ángulos alternos internos:
d = f entonces
75º = f
Ángulos opuestos por el vértice:
f = h entonces
75º = h. Resueltos los 8 ángulos.
TEORIA DE LOS TRIANGULOS.
Definición: Es una figura geométrica que consta de tres lados y tres ángulos, además se
dice que tiene tres vértices.
Clasificación de los Triángulos:
a) Los triángulos se clasifican por sus Lados de la siguiente manera:
Triángulo Equilátero.
Es el triángulo que consta de sus tres lados iguales.
Además sus ángulos son iguales y agudos.
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Triangulo Isósceles.
Es el triángulo que consta de dos lado iguales y
uno desigual de los otros dos
Triangulo Escaleno.
Es el triángulo que no tiene lados iguales, en
otras palabras sus lados son desiguales.
TEOREMAS


La suma de las medidas de los tres ángulos internos de cualquier triangulo es 180º
a + b + c = 180º
La suma de las medidas de los tres ángulos externos de cualquier triangulo es 360º
A + B + C = 360º
b) Los triángulos también se clasifican por sus ángulos, así:
Triangulo Acutángulo.
60º
Es el triángulo que tiene sus ángulos agudos,
en este caso, el triángulo Equilátero, por lo
tanto es Equilátero Acutángulo.
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Triangulo Rectángulo.
Es el triángulo que tiene un ángulo recto o de 90º.En este triángulo usaras dos
herramientas para resolver:
El teorema de Pitágoras:  2 = 2 +  2
Las Funciones Trigonométricas:  ø =
 ø =
 
ℎ
cos ø =
 
ℎ
 
 
 ø =
 
 
 ø =


 ø =
 
 
Triangulo Obtusángulo.
Son aquellos que tienen un ángulo obtuso, o mayor de 90º y menor de 180º, se trata
de todos los triángulos que no son rectángulos.
Las herramientas que se usan para resolver un triángulo obtusángulo, (llamado
también triángulo oblicuángulo) son:



La ley del Seno:   =   =  
Ley del Coseno: 2 =  2 +  2 − 2
 2 = 2 +  2 − 2 .
 2 = 2 +  2 − 2 
ESTUDIEMOS LOS TRIANGULOS RECTANGULOS.
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
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Módulo de Trigonometría Segundo año
 Las partes del triángulo rectángulo:
Hipotenusa
Cateto
Angulo Recto
90º
Cateto
 Herramientas para resolverlos:
PRIMERA HERRAMIENTA: El teorema de Pitágoras:  2 = 2 +  2
Ejemplo No1.- Encontrar el valor faltante en el triángulo siguiente:
No olvides aplicar la ruta de solución:
2º
herramienta
de solución.
1º
Mi problema
¿?
 2 = 2 +  2
 2 = 42 + 32
Sustituyendo
 2 = 16 + 9
4
 2 = 25 = √25
3
c=5
Ejemplo No2.- Encontrar el valor faltante en el triángulo dado:
 2 = 2 +  2 (√74)2 = 52 +  2
¿?
5
√74(√74)2 − 52 =  2
2
√74(√74) − 52 =  2
74 − 25 =  2 49 =  2 √49 = (√)27 = b
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IGUALDAD DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
Recordemos que los triángulos rectángulos tiene uno de sus ángulos recto, para
que dos triángulos sean iguales deben tener tres elementos iguales (ya tenemos un dato,
el ángulo recto: 90º) por lo tanto solo se requiere encontrar dos valores más, de estos
uno debe de ser un lado.
Dos triángulos rectángulos son iguales en las siguientes condiciones:
1) Caso HA: Cuando tienen igual la Hipotenusa y un ángulo agudo, por ejemplo:
Hipotenusas iguales
Ángulos agudos Iguales
Además de los ángulos rectos que son iguales.
2) Caso CA: Cuando tienen igual un cateto y un ángulo agudo, por ejemplo:
Ángulos Agudos iguales
Catetos Iguales
Además de los ángulos rectos que son iguales.
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
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3) Caso CC: Cuando tienen iguales dos catetos, por ejemplo:
Catetos Iguales
Además de los ángulos rectos que son iguales.
4) Caso HC: Cuando tiene igual la Hipotenusa y un Cateto.
Catetos Iguales
Hipotenusas iguales
Además de los ángulos rectos que son iguales.
SEMEJANZA DE TRIANGULOS RECTANGULOS
Como sabemos que todo triangulo rectángulo tiene un ángulo recto, entonces, para que
dos triángulos rectángulos sean semejantes bastara con tener un ángulo agudo igual,
pues los ángulos rectos son iguales.
44º
7
1.6√6
5
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4
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¿Cómo se resuelven problemas a partir de la semejanza de triángulos rectángulos?
Ejemplo
1
Resuelve el triángulo siguiente:
2x
X?
3
5
Puedes distinguir dos triángulos?, veamos: Un externo mayor y otro menor:
Planteamos las razones:
5
 La base del mayor con la base del menor: 
 La hipotenusa del mayor con la del menor:
 Establecemos la proporción:
10

 Despejamos x:
5

=
3+2
2
3+2
2
7
= 3 + 210 − 3 = 2 entonces  = 2
Resuelve
con tu
maestro/a
Un árbol proyecta una sombra de 8mts. al final de la sombra se para un hombre cuya
estatura es de 1.65 m. Y este proyecta una sombra de 2 m. ¿Cuál es la altura del árbol?
Ruta de solución:

Has un bosquejo del problema:

Plantea las rozones y la proporción adecuadas

Despeja y resuelve.
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ESTUDIEMOS LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Las Funciones Trigonométricas:  ø =
 ø =
 
cos ø =
ℎ
 
ℎ
 
 
 ø =
 
 
 ø =


 ø =
 
 
En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo
con vértice en A,
Ejemplo No1.- Estable las funciones trigonométricas correspondientes al ángulo ø.
 
ℎ
=
4
√65
 
cos ø =
4
 
 ø =   =7  ø =

 ø =   =
√65

7
ℎ
=
 
 

7
√65
√65
7
=4
ø =   =
ø
 ø =
√65
4
4
Has una práctica: obtén las funciones trigonométricas para el otro ángulo¡¡7
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7
Módulo de Trigonometría Segundo año
Analiza y resuelve con tu maestro/a:
En un día especifico, el sol apareció en el horizonte a las 6 am y desapareció en el
horizonte opuesto a las 6 pm. Si a las 10 am de ese día se mide la sombra de un pino, y
es de 3.393 m.
a) Cuál es la altura del pino?
b) A qué horas proyectara una sombra igual a su altura?
c) Cuál sería la sombra a las 8 am de un pino de 12.125 m de altura? Y que sombra
proyectaría a las 10 am?
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TEOREMA DE LA ALTURA
El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:
En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la
proporcionalmente las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.
Demostración:
La altura del triángulo rectángulo ABC,
lo divide en dos triángulos rectángulos
semejantes, de forma que:
Teorema de la altura.
Multiplicando los dos miembros de la igualdad por
se tiene:
por lo que
Otra forma del mismo teorema
La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo también puede
obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación del presente teorema por sus
respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.
;
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Módulo de Trigonometría Segundo año
Lo que al simplificar en el último término de la ecuación la
raíz con los cuadrados nos conduce a:
Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la
hipotenusa.La ecuación nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:
Teorema de la altura (forma 2)
En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto
de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.
Teorema del cateto
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la
hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.
Este teorema puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos—
como:
Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la
hipotenusa.
Demostración:
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Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la
hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.
Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa
c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las
proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.
Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo
tanto son semejantes:
1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y
tener sus lados perpendiculares.
3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales,
tendremos que:

Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC
de donde,

Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC
y el teorema queda demostrado.
“En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la
hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la
hipotenusa.”
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Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir, basta con despejar en
cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:
en las que al despejar respectivamente m y n
producen las ecuaciones:
Donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la
hipotenusa y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.
Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos. La medida de un cateto
es la media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.
, también se cumple:
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina
sobre la hipotenusa.
, es decir:
Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calcularse como:
donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las
alturas sobre los respectivos lados.
Ponte a prueba: Resuelve algunos problemas de solución de Triángulos Rectángulos.
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Ejercicio No1
Un niño está elevando una piscucha, su mano se encuentra a 1.5
metros del piso, el hilo forma con la horizontal un ángulo de 30º, ¿Cuál es la altura de la
piscucha sobre el piso cuando se han soltado 64 metros de hilo?
Ejercicio No2
Un pájaro y un ratón se encuentran en la parte superior de un
acantilado vertical de 98 metros de altura. Desde ahí observan que a 310 metros de la
base del acantilado se encuentra
un gusanito en una mazorca. El ratón baja del
acantilado y se dirige corriendo hacia la mazorca. El pajarito asciende verticalmente una
altura H, y luego se dirige en línea recta hacia el gusanito, ¿cuál debe ser la altura H
para que ambos animalitos recorran la misma distancia?
Ejercicio No3
Encuentra la altura H de un árbol si se sabe que la longitud de su
sombra es de 120 cm. Además, el ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal
es de 45º.
Ejercicio No4
Amadeo mide 1.72 metros de estatura y su sombra 1.54 metros de
longitud, ¿Qué ángulo forman en ese instante los rayos del sol con la horizontal.
Ejercicio No5
Calcula la altura del poste:
RESOLVAMOS LOS TRIANGULOS OBLICUANGULOS
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Módulo de Trigonometría Segundo año
Triangulo Obtusángulo.
Son aquellos que tienen un ángulo obtuso, o mayor de 90º y menor de 180º, se trata
de todos los triángulos que no son rectángulos.
Las herramientas que se usan para resolver un triángulo obtusángulo, (llamado
también triángulo oblicuángulo) son:



La ley del Seno:   =   =  
Ley del Coseno: 2 =  2 +  2 − 2
 2 = 2 +  2 − 2 .
 2 = 2 +  2 − 2 
Resolver un triángulo Obtusángulo u oblicuángulo, consiste en encontrar los valores de
todas las partes de él, dicho de otra manera, se deben conocer los tres lados y sus tres
ángulos.
1
Por ejemplo, Encuentra las demás partes del triángulo siguiente:
Sigue estos pasos:
I)
15
13
67.38º
Identifica los lados y los ángulos
conocidos y desconocidos.
Lado A = 15
Lado B = 13
Lado C = ¿?
Angulo a = 67.38º
Angulo b = ¿?
Angulo c = ¿?
C
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Módulo de Trigonometría Segundo año
Paso II. Selecciona las
herramientas:
Sustituye según los datos:
Ley del Seno:
15
13

=
=
 67.38º    



=
=
     
15
13
=
 67.38º  
  15 =  67.38º13
  =
Ley del coseno:
( 67.38º)(13)
15
Sen b = 0.79999
2
=  2 +  2 − 2
 = −1 0.79999 ,
b = 53.13º
Hemos encontrado al ángulo “b”, ya contábamos coa el ángulo “a”, ya puedes encontrar “c”.
a + b + c = 180º , 67.38º + 53.13º + c =180º ,120.51 + c = 180º ,entonces: c = 180º - 120.5º, c= 59.49º
Ahora utiliza el teorema del coseno y encuentra el lado faltante:
2 =  2 +  2 − 2 , sustituyendo:  2 = 152 + 132 − 2(15)(13)( 59.49º)
Resolviendo:  2 = 394 − 390( 59.49º)
 2 = 394 − 390(0.508)
 2 = 394 − 198
 2 = 244 = √244 , Entonces c = 14
El Triángulo Obtusángulo está resuelto:
Lado A = 15
Lado B = 13
Lado C = 14
Angulo a = 67.38º
Angulo b = 53.13
Angulo c = 59.49
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Módulo de Trigonometría Segundo año
RESUELVE AHORA TÚ LOS SIGUIENTES CASOS:
Ejercicio No 1
Una palmera creció recta, pero inclinada 13º de la vertical, si
cuando el ángulo de elevación del sol es de 39º, la palmera proyecta una sombra que
mide 17.4 metros.
¿Qué altura tiene la palmera?
Ejercicio No 2
De la intersección de dos calles rectas, que forman un ángulo de
96º; parten al mismo tiempo dos corredores, uno por cada una de las calles, el más
rápido a una velocidad de 12 km/h, y el otro a 10 km/h, después de correr por una
hora y media, ambos corredores se detendrán, ¿qué distancia les separa en ese
instante?
Ejercicio No 3
Dos lados de un triángulo son: 110 y 138; mientras que el
ángulo comprendido entre ellos es de 41º. Resolver dicho triangulo.
Ejercicio No 4
Resolver el triángulo cuyos lados son: A =15, B = 21 y C = 32
Ejercicio No 5
Desde un punto P, un ciclista se dirige al Este, ha recorrido 7
kms, cambia de dirección a 38º NO y después para retornar al punto P vira de nuevo
64º SO. ¿Cuál es la distancia recorrida por el ciclista
Profesor: Walberto de Jesús Ortiz Alvarenga
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